人教A版高中数学必修第二册第8章微专题3二面角的常见求法讲义

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微专题3　二面角的常见求法求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角． 类型1　定义法求二面角方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．【例1】　如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　三垂线法求二面角方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．【例2】　如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC．(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　垂面法求二面角方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．【例3】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型4　射影面积法方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．以多边形射影为三角形为例证明，其他情形可自证．证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D.∵AA′⊥α于A′，D∈α，∴AD在α内的射影为A′D.∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D，∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D，∴A′D⊥BC.∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝12BC·AD，S′＝12BC·A′D.∴cos θ＝A'DAD＝12BC·A'D12BC·AD＝S'S.【例4】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小．[尝试解答]