人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-1直线与直线垂直讲义

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8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直观察下面两个图形．问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？知识点1　异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)空间两条直线所成角α的取值范围是________． 1.在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2　两条异面直线垂直(1)定义：如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．(2)表示：直线a与直线b垂直，记作________． 2.两条直线垂直，一定相交吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条． 类型1　异面直线所成的角【例1】　如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求异面直线所成角的一般步骤“一作”即过空间一点作两条异面直线的________，而空间一点一般取在两异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处．“二求”即通过解三角形，计算所作的角的大小．“三结论”即假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则________即为所求．[跟进训练]1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　直线与直线垂直的证明【例2】　如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明两条直线垂直的策略(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．[跟进训练]2．(1)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，则线段AA1的长为________．(2)空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝5，EF＝3.求证：AC⊥BD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(多选)如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是(　　)A．相交直线　 B．异面直线C．共面直线 D．平行直线2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)A．45°　　B．60°　　C．90°　　D．120°3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成角为π4的条数为(　　)A．6 　　　B．8　　　C．10　　　D．124．如图，已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角为________；(2)AA′和BC′所成的角为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤是什么？3．用平移法求异面直线所成角时应用了什么数学思想？学习任务1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．(直观想象)2．掌握两异面直线所成的角的求法．(数学运算、逻辑推理)