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人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-2第2课时线面垂直的性质与空间距离讲义
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这是一份人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-2第2课时线面垂直的性质与空间距离讲义，共10页。
第2课时 线面垂直的性质与空间距离如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯．问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？(2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？(3)由此你能得出什么结论？知识点1 直线与平面垂直的性质定理 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？ 知识点2 空间距离1．过一点作________于已知平面的直线，则该点与________间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，____________叫做这个点到该平面的距离．2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为______；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________． 类型1 线面垂直性质定理的应用【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[尝试解答] 证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[跟进训练]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 类型2 空间中的距离问题【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3, 求点D到平面PBC的距离．[思路导引] 点D到平面PBC的距离 转化化归 点A到平面PBC的距离．[尝试解答] 空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．[跟进训练]2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离． 类型3 直线与平面垂直关系的综合应用【例3】 如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF.[尝试解答] 关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直条件，即挖掘已知条件，以方便后续证明．(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．[跟进训练]3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由． 1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )A．b∥α B．b⊂αC．b⊥α D．b∩α＝A2．(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是( )A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD3．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．4. 已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件______时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．线面垂直的性质定理揭示了平行关系与垂直关系之间的相互转化，你能表述一下他们间的转化关系吗？2．点到平面的距离、直线到平面的距离以及平面到平面的距离之间是如何转化的？ 学习任务1．理解直线与平面垂直的性质定理．(数学抽象、逻辑推理)2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．(数学抽象、数学运算)文字语言垂直于同一个平面的两条直线______符号语言a⊥αb⊥α⇒________图形语言
第2课时 线面垂直的性质与空间距离如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯．问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？(2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？(3)由此你能得出什么结论？知识点1 直线与平面垂直的性质定理 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？ 知识点2 空间距离1．过一点作________于已知平面的直线，则该点与________间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，____________叫做这个点到该平面的距离．2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为______；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________． 类型1 线面垂直性质定理的应用【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[尝试解答] 证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[跟进训练]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 类型2 空间中的距离问题【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3, 求点D到平面PBC的距离．[思路导引] 点D到平面PBC的距离 转化化归 点A到平面PBC的距离．[尝试解答] 空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．[跟进训练]2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离． 类型3 直线与平面垂直关系的综合应用【例3】 如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF.[尝试解答] 关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直条件，即挖掘已知条件，以方便后续证明．(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．[跟进训练]3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由． 1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )A．b∥α B．b⊂αC．b⊥α D．b∩α＝A2．(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是( )A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD3．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．4. 已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件______时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．线面垂直的性质定理揭示了平行关系与垂直关系之间的相互转化，你能表述一下他们间的转化关系吗？2．点到平面的距离、直线到平面的距离以及平面到平面的距离之间是如何转化的？ 学习任务1．理解直线与平面垂直的性质定理．(数学抽象、逻辑推理)2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．(数学抽象、数学运算)文字语言垂直于同一个平面的两条直线______符号语言a⊥αb⊥α⇒________图形语言
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