人教A版高中数学必修第二册第8章微专题3二面角的常见求法学案

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微专题3　二面角的常见求法求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角． 类型1　定义法求二面角方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．【例1】　如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．[解]　如图，取AB中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．∵VO＝VA2-AB22＝4-3＝1，CO＝BC2-AB22＝4-3＝1，∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形，∴∠VOC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°. 类型2　三垂线法求二面角方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．【例2】　如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[解]　(1)∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.(2)取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.又SC⊂平面SBC，∴SC⊥AD.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，∵AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE.∴SC⊥平面ADE.又DE⊂平面ADE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A-SC-B的平面角．设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝22a，AD＝2a，AC＝23a，SC＝4a.由题意得AE＝3a，在Rt△ADE中，sin ∠AED＝ADAE＝2a3a＝63，∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为63. 类型3　垂面法求二面角方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．【例3】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．[解]　∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝22.∵AB⊥BC，∴AC＝23，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°. 类型4　射影面积法方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．以多边形射影为三角形为例证明，其他情形可自证．证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D.∵AA′⊥α于A′，D∈α，∴AD在α内的射影为A′D.∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D，∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D，∴A′D⊥BC.∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝12BC·AD，S′＝12BC·A′D.∴cos θ＝A'DAD＝12BC·A'D12BC·AD＝S'S.【例4】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小．[解]　如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，∴cos θ＝S△PABS△PCD＝12a212×a×2a＝22，∴θ＝45°.故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.微专题强化练(三)　二面角的常见求法一、选择题1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A-BD-P的大小为(　　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75°A　[作AO⊥BD交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P的大小．∵AO＝AB·ADBD＝125，∴tan ∠AOP＝APAO＝33，故二面角A-BD-P的大小为30°.]2．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则二面角A-B1D1-B的余弦值为(　　)A．63 B．73 C．64 D．74A　[如图，取B1D1中点E，O为底面ABCD中心，易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角．又因正方体的棱长为1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝2，所以AE＝62.又OE＝BB1＝1，所以cos ∠AEO＝OEAE＝63，即二面角A-B1D1-B的余弦值为63，故选A.]3．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为(　　)A．62　　　　　B．3 C．1 D．233D　[设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在等边△ABC中，AE＝32a，所以tan ∠A1EA＝AA1AE＝a32a＝233，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为233.]4．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°，则这个二面角的大小是(　　)A．30°　　　　B．60° C．90° D．120°C　[因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝22AC，即BD′＝DC＝22AC且B′D⊥AD，CD⊥AD，因此∠B′DC是所求二面角的平面角．因为∠B′AC＝60°，AB′＝AC，连接B′C(图略)，则△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，B′D2＋DC2＝B′C2，所以∠B′DC＝90°.故选C.]5．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝217 cm，则这个二面角的度数为(　　)A．30°　　 B．60° C．90°　　 D．120°B　[如图，过点A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE，DE，则AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角，由题意，得AE＝BD＝8 cm，AC＝6 cm，∵AB⊥AC，AB⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE，∴AB⊥平面ACE，∴AB⊥CE，又∵DE∥AB，∴DE⊥CE，∴CE2＝CD2－ED2＝52，由余弦定理，得cos ∠CAE＝AE2+AC2-CE22AE·AC＝64+36-522×8×6＝12，则∠CAE＝60°，即这个二面角的度数为60°.]二、填空题6．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是________．60°　[如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°.]7．已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在平面α内，且∠POB＝60°.若直线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α-AB-β的正弦值为________．63　[如图，过点P作PE⊥β，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角，∠PFE为二面角α-AB-β的平面角．设OP＝2a，则在Rt△PEO中，由∠POE＝45°，可得PE＝a.在Rt△PFO中，由∠POF＝60°，可得PF＝2a·sin 60°＝62a.在Rt△PEF中，sin ∠PFE＝PEPF＝a62a＝63，即二面角α-AB-β的正弦值为63.]8．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，则二面角F-BC-A的余弦值为________．77　[连接OO′，过点F作FM⊥OB，垂足为点M，则有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝FB2-BM2＝3.过点M作MN⊥BC，垂足为点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin 45°＝62.从而FN＝422，可得cos ∠FNM＝77.所以二面角F-BC-A的余弦值为77.]三、解答题9．如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小．[解]　如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∵BD⊂α，∴AE⊥BD，又AE∩AF＝A，∴BD⊥平面AEF，∴BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角．依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AF＝CF＝2，AE＝1，∴sin ∠AFE＝AEAF＝12＝22，∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小为45°.10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值．[解]　(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF.∵AB＝BC，∴AC⊥BE.又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF.(2)如图，连接ED，∵BE⊥AC，BE⊥CC1，CC1∩AC＝C，∴BE⊥平面ACC1A1，∴△BCD在平面ACD上的射影为△ECD.∴S△ECD＝12×EC×DA＝12.又∵在△BDC中，BC＝DC＝5，BD＝6，∴S△BDC＝12×6×142＝212.设平面BCD与平面ACD所成的二面角为θ，则cos θ＝S△ECDS△BCD＝12212＝2121，又∵二面角B-CD-C1的平面角是二面角A-CD-B的平面角的补角，∴二面角B-CD-C1的余弦值为－2121.