人教A版高中数学必修第二册第8章微专题2球的切、接问题讲义

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微专题2　球的切、接问题与球有关的内切、外接问题是学习立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解． 类型1　球与柱体的外接球【例1】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．πa2　　B．73πa2　　C．113πa2　　D．5πa2[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　球与锥体的外接球【例2】　(1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是________．(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　球与台体的外接球【例3】　(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．100π B．128πC．144π D．192π[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型4　球与几何体的内切问题【例4】　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)A．4π(r＋R)2　 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为________．[尝试解答]