人教A版高中数学必修第二册第9章9-2-4总体离散程度的估计讲义

这是一份人教A版高中数学必修第二册第9章9-2-4总体离散程度的估计讲义，共8页。
9.2.4　总体离散程度的估计甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.经过计算，可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环．问题：若从二人中选一人去参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？知识点　方差、标准差1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为____________＝________，标准差为________．2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为Y，则称S2＝__________为总体方差，S＝________为总体标准差．(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝____________________________________________________.3．样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2＝______为样本方差，s＝________为样本标准差．4．标准差的意义标准差刻画了数据的________或________，标准差越大，数据的离散程度越________；标准差越小，数据的离散程度越________．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22，则这个样本的方差为s2＝_________.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　)(2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞) ． (　　)(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　)(4)一般情况下数据中绝大部分数据落在[x－2s，x＋2s]内，也有可能落在[x－2s，x＋2s]外． (　　)(5)计算分层随机抽样中总样本的平均数与方差时，必须已知各层的权重．(　　)2．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为________；标准差为________．3．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：则全班学生每周购买零食的平均费用为________；方差为________． 类型1　方差和标准差的性质与计算【例1】　(1)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则(　　)A．x＝4，s22C．x>4，s24，s2>2(2)若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　方差和标准差的计算技巧与性质(1)方差的计算①基本公式：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].②简化计算公式：s 2＝1n(x12+x22+…+xn2)－x2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．(2)方差和标准差的性质若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关．[跟进训练]1．(1)(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)A．极差与方差都反映了数据的集中程度B．方差是没有单位的统计量C．标准差比较小时，数据比较分散D．只有两个数据时，极差是标准差的2倍(2)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的方差为________． 类型2　方差和标准差的应用【例2】　为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定．[跟进训练]2．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)，则甲、乙两品牌汽车CO2的排放量稳定性更好的是(　　)A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．无法确定 类型3　分层随机抽样的方差【例3】　某市教育部门采用分层随机抽样的方法从甲、乙、丙三个学校选取了100名学生的某次考试数学成绩(单位：分)，并制成如下表格：试估计这次考试数学成绩的平均数与方差．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…，xn，方差分别为s12，s22，…，sn2，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝(x为样本的平均数)．[跟进训练]3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，求甲、乙两队全部队员的平均体重和方差．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是(　　)A．甲 B．乙　　　C．丙　　　 D．丁2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是12，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数、方差分别是(　　)A．5，12 　　　B．5，2　　　C．3，2　　　D．3，123．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．4．在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，已知抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.根据以上数据估计该校高一学生体重的总样本的平均数为________，方差为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．描述数据的离散程度的量有哪些？分别如何描述的？2．如何计算一组数据的方差或标准差？3．如何计算分层随机抽样的方差？学习任务1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(数学抽象、数据分析)2．理解离散程度参数的统计含义．(直观想象)学生数平均支出(元)方差男生9406女生6354甲80110120140150乙100120100120160学生数平均数方差甲409810乙309212丙309515甲乙丙丁x7887s26.36.378.7