初中数学17.1 勾股定理课时练习

这是一份初中数学17.1 勾股定理课时练习，共21页。试卷主要包含了5，2，2，3，0等内容，欢迎下载使用。

勾股数的判断
例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．5，10，13D．3，4，5
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，，2C．6，8，10D．2，2，
2．（22-23八年级上·云南文山·期末）下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．9，16，25D．18，24，30
3．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（ ）
A．，， B．C．，， D．
以直角三角形三边为边长的图形面积
例题：（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式训练】
1．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则长是（ ）

A．B．C．4D．5
3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．5D．
用勾股定理解三角形
例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，G为中点，求的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)若是近直角三角形，，，则______．
(2)在中，，，，若是的平分线．
①求证：为近直角三角形．
②求的长．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
勾股定理与网格问题
例题：（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．

【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．

2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．

3．（22-23八年级下·天津和平·期末）【问题背景】在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明在解答这道题时，先建一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点，如图所示，这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．

（）直接写出的面积， ；
【思维拓展】
（）若的三边长分别为，，，请在图的正方形网格纸中画出每个小正方形的边长为，并直接写出的面积， ．
勾股定理与折叠问题
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ．
2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．
(1)若，则的度数为________；
(2)若，，求的长；
(3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示）
3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的值；
(3)若．求的面积．
勾股定理的应用
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．

(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，为海中的两座小岛，为海岸上的信号塔．已知小岛A在信号塔C的北偏西方向80海里处，小岛B在信号塔C的南偏西方向60海里处．
(1)求小岛A与小岛B之间的距离；
(2)一艘轮船从小岛A出发，沿直线向小岛B航行．若信号塔的信号有效覆盖半径为50海里，问：轮船在航行过程中，能否收到信号塔C的信号？
3．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
判断能否构成直角三角形
例题：（22-23八年级上·浙江台州·期末）满足下列条件的是直角三角形的有个（ ）
①；②：：：：；③；④是上的中线，且．
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川成都·期末）能判断是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．，
2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，，的对边分别是 a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A．B．
C．D．
利用勾股定理的逆定理求解
例题：（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．

(1)求的长；
(2)四边形的面积．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积．
2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．

(1)求证：：
(2)如果平分，且，求的面积．
3．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
勾股定理逆定理的实际应用
例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
2．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．

(1)求的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？
3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
(1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
(2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．mB．mC．mD． m
3．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是（ ）
A． B．C．D．
4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是 ．
7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
10．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 三角形；
（2）若，则边上的“中高距”为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，．
(1)请判断的形状，并证明；
(2)过点B作于点E，交于点F，求和的长．
12．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路，的长度．
(2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用．
13．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；
(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．
14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）学校有一块四边形的空地，之间有一条垂直于的小路，如图． 学校计划在这块空地上种植花卉． 已知：米，米，米，米．

(1)这块空地的面积是多少平方米？（小路的面积忽略不计）
(2)顶点到小路的距离是多少米？
15．（23-24八年级上·四川巴中·期末）我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
(1)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明．
(2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
16．（23-24八年级上·河南南阳·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
（1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________．

（2）【知识迁移】在第（1）问的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置，并求出的距离．

17．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）如图，的平分线交于点E，D为边上一点，且满足．
①求证：；
②若，，，求的长．
（2）在长方形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处．
①如图1，若，求的度数；
②如图2，当，，求的长．
18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，．
(1)如图①，若，过点作交轴于点，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且，过点作交轴于点，连接，当时，求的度数．
(3)如图③，若是线段上的一个动点，点在内部，，，连结，设，求的面积关于的解析式．