初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理当堂达标检测题，共80页。试卷主要包含了5，2，2，3，0，4米等内容，欢迎下载使用。

勾股数的判断
例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．5，10，13D．3，4，5
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，，2C．6，8，10D．2，2，
2．（22-23八年级上·云南文山·期末）下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．9，16，25D．18，24，30
3．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（ ）
A．，， B．C．，， D．
以直角三角形三边为边长的图形面积
例题：（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式训练】
1．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则长是（ ）

A．B．C．4D．5
3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．5D．
用勾股定理解三角形
例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，G为中点，求的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)若是近直角三角形，，，则______．
(2)在中，，，，若是的平分线．
①求证：为近直角三角形．
②求的长．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
勾股定理与网格问题
例题：（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．

【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．

2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．

3．（22-23八年级下·天津和平·期末）【问题背景】在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明在解答这道题时，先建一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点，如图所示，这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．

（）直接写出的面积， ；
【思维拓展】
（）若的三边长分别为，，，请在图的正方形网格纸中画出每个小正方形的边长为，并直接写出的面积， ．
勾股定理与折叠问题
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ．
2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．
(1)若，则的度数为________；
(2)若，，求的长；
(3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示）
3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的值；
(3)若．求的面积．
勾股定理的应用
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．

(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，为海中的两座小岛，为海岸上的信号塔．已知小岛A在信号塔C的北偏西方向80海里处，小岛B在信号塔C的南偏西方向60海里处．
(1)求小岛A与小岛B之间的距离；
(2)一艘轮船从小岛A出发，沿直线向小岛B航行．若信号塔的信号有效覆盖半径为50海里，问：轮船在航行过程中，能否收到信号塔C的信号？
3．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
判断能否构成直角三角形
例题：（22-23八年级上·浙江台州·期末）满足下列条件的是直角三角形的有个（ ）
①；②：：：：；③；④是上的中线，且．
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川成都·期末）能判断是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．，
2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，，的对边分别是 a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A．B．
C．D．
利用勾股定理的逆定理求解
例题：（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．

(1)求的长；
(2)四边形的面积．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积．
2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．

(1)求证：：
(2)如果平分，且，求的面积．
3．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
勾股定理逆定理的实际应用
例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
2．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．

(1)求的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？
3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
(1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
(2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．mB．mC．mD． m
3．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是（ ）
A． B．C．D．
4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是 ．
7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
10．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 三角形；
（2）若，则边上的“中高距”为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，．
(1)请判断的形状，并证明；
(2)过点B作于点E，交于点F，求和的长．
12．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路，的长度．
(2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用．
13．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；
(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．
14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）学校有一块四边形的空地，之间有一条垂直于的小路，如图． 学校计划在这块空地上种植花卉． 已知：米，米，米，米．

(1)这块空地的面积是多少平方米？（小路的面积忽略不计）
(2)顶点到小路的距离是多少米？
15．（23-24八年级上·四川巴中·期末）我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
(1)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明．
(2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
16．（23-24八年级上·河南南阳·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
（1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________．

（2）【知识迁移】在第（1）问的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置，并求出的距离．

17．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）如图，的平分线交于点E，D为边上一点，且满足．
①求证：；
②若，，，求的长．
（2）在长方形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处．
①如图1，若，求的度数；
②如图2，当，，求的长．
18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，．
(1)如图①，若，过点作交轴于点，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且，过点作交轴于点，连接，当时，求的度数．
(3)如图③，若是线段上的一个动点，点在内部，，，连结，设，求的面积关于的解析式．
勾股定理与勾股定理逆定理之九大题型
勾股数的判断
例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．5，10，13D．3，4，5
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、1.5和2.5不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，，2C．6，8，10D．2，2，
【答案】C
【分析】本题考查勾股数，凡是可构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A，0.3，0.4，0.5不是正整数，因此0.3，0.4，0.5不是勾股数；
B， 不是正整数，因此1，，2不是勾股数；
C，，因此6，8，10是勾股数；
D，不是正整数，因此2，2，不是勾股数；
故选C．
2．（22-23八年级上·云南文山·期末）下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．9，16，25D．18，24，30
【答案】D
【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方．解题的关键是掌握勾股数的定义．
【详解】解：A、1.5和2.5不是正整数，是小数，故选项不符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意．
故选：D．
3．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（ ）
A．，， B．C．，， D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的概念，注意：一组数若为勾股数，扩大或缩小相同的倍数后仍然是勾股数．根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案．
【详解】解：正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：，
A．，，，
∵，
∴，，不一定是勾股数，故A错误；
B．，，，
∵，
∴不一定是勾股数，故B错误；
C．，，，
∵，
∴，，一定是勾股数，故C正确；
D．，，，
∵，
∴不一定是一组勾股数 ，故D错误．
故选：C．
以直角三角形三边为边长的图形面积
例题：（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质．证，推出，，求出，，求出b的面积为，代入求出即可．
【详解】解：根据正方形的性质得出，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵a，b的面积分别为1和9，
∴，，
∴c的面积为：，
故选：C．
【变式训练】
1．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
【详解】解：由题意：，，
∴
∵正方形的面积依次为，
∴，
∴．
故选：C．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则长是（ ）

A．B．C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．5D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故选：B．
用勾股定理解三角形
例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，G为中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答；
（2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答．
【详解】（1）∵，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点E作，垂足为F，
，
，，
，
∵G为中点，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
的长为8．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）若点是的中点，则垂直平分，，可得，则是等边三角形，即可得；
（2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，，即，解方程求出，即可得的长．
【详解】（1）证明：点是的中点，是边上的高．
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：设，则，
，
是边上的高，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)若是近直角三角形，，，则______．
(2)在中，，，，若是的平分线．
①求证：为近直角三角形．
②求的长．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，勾股定理等，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据“近直角三角形”的定义可知，由此可解；
（2）①由已知条件证明即可；②利用勾股定理求出，作于点E，根据角平分线的性质定理可得，根据求出，进而即可求出的长．
【详解】（1）解：是近直角三角形，，，
，
，
故答案为：；
（2）解：①证明：中，，
，
是的平分线，
，
中，，
为近直角三角形；
②中，，，，
，
如图，作于点E，
是的平分线，，，
，
，
，
，
解得，
．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【答案】操作一∶；操作二：的长为．
【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程．
(1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶
(2)求出，设，可得，即可解得的长．
【详解】操作一：在中，，，，
，
由翻折可得，，，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理得：，
解得： ，
∴；
操作二：在长方形中，，，
根据折叠的性质得，，
在中，，
根据勾股定理可得，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长为．
勾股定理与网格问题
例题：（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．

【答案】/
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．

【答案】3
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由图形可知，，边上的高为3，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，，
故答案为：3
2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．

【答案】12
【分析】本题主要考查勾股定理，运用勾股定理求出，两式相减即可得出结论．
【详解】解：在中，，
在中，
∴
，
故答案为：12．
3．（22-23八年级下·天津和平·期末）【问题背景】在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明在解答这道题时，先建一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点，如图所示，这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．

（）直接写出的面积， ；
【思维拓展】
（）若的三边长分别为，，，请在图的正方形网格纸中画出每个小正方形的边长为，并直接写出的面积， ．
【答案】
【分析】（）利用分割法求三角形的面积即可；
（）如图中，利用数形结合的思想画出，再根据分割法求三角形的面积即可．
【详解】（）如图，

，
，
，
，
故答案为：；
（）作图如下：

同理可得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用网格图构造三角形，利用分割法求三角形的面积．
勾股定理与折叠问题
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵折叠，
∴，
当为直角三角形时，分两种情况，
①当时，过点作，交的延长线于点，
则四边形为长方形，
∴，
设，则：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴；
②当时，此时点与点重合，如图：
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴，
综上：或；
故答案为：或．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵折叠，
∴，
设，
∵在长方形中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．
(1)若，则的度数为________；
(2)若，，求的长；
(3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)；
(3)的周长为．
【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
（1）根据折叠可得，根据三角形内角和定理可以计算出，进而得到；
（2）根据折叠可得，设，则，再在中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，进而得到的长；
（3）根据三角形的面积可得，进而得到，再在中，，再把左边配成完全平方可得的长，进而得到的周长．
【详解】（1）解：把沿直线折叠，使与重合，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：把沿直线折叠，使与重合，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
则；
（3）解：的面积为，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
即的周长为．
3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的值；
(3)若．求的面积．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形；
（2）连接，根据代数求解即可；
（3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
又长方形，
，
，
是等腰三角形
（2）如图所示，连接，

，
（3）设，则，
在中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
勾股定理的应用
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．

(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】(1)卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为．
(2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质：
（1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．
∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．

∵，，
∴．
答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为．
（2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响．
∵，，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
∴影响时间为：．
答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．

【变式训练】
1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可得，米，
∵米，米，
∴米，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，为海中的两座小岛，为海岸上的信号塔．已知小岛A在信号塔C的北偏西方向80海里处，小岛B在信号塔C的南偏西方向60海里处．
(1)求小岛A与小岛B之间的距离；
(2)一艘轮船从小岛A出发，沿直线向小岛B航行．若信号塔的信号有效覆盖半径为50海里，问：轮船在航行过程中，能否收到信号塔C的信号？
【答案】(1)小岛A与小岛B之间的距离为100海里
(2)轮船在驶向处的过程中，能收到灯塔信号，理由见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用：
（1）由方向角的定义得到：，求出，由勾股定理求出（海里），即可得到小岛A与小岛B之间的距离；
（2）过C作于H，由三角形面积公式求出海里，即可判断轮船在航行过程中，能收到信号塔C的信号．
【详解】（1）解：如图,
由题意得：，，
．
，，
．
小岛A与小岛B之间的距离为100海里．
（2）解：过点作交于点．
，
．
，
．
．
答：轮船在驶向处的过程中，能收到灯塔信号．
3．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考查勾股定理的应用，
（1）用表示处，在中，根据勾股定理即可用含的代数式表示；
（2）在中，用的代数式表示处，根据，列方程即可解出；
能灵活运用勾股定理列代数式、列方程是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：，，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题知：，，，，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴旗杆的高度为米．
判断能否构成直角三角形
例题：（22-23八年级上·浙江台州·期末）满足下列条件的是直角三角形的有个（ ）
①；②：：：：；③；④是上的中线，且．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和为结合角度关系即可得到是直角三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，根据等边对等角证出是直角三角形；
【详解】解：，
，
，
，
是直角三角形；
：：：：，
，
是直角三角形；
，
，
是直角三角形；
是上的中线，
，
，
，
，，
，
，
是直角三角形；
故是直角三角形的有个，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川成都·期末）能判断是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．，
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定等知识，分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意；
D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意．
故选：C
2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，，的对边分别是 a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可．
【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能够判断是直角三角形，符合题意；
B、由得，得出，不符合勾股定理的逆定理，不能够判断是直角三角形，不符合题意；
C、，此时，不能够判断是直角三角形，不符合题意；
D、，那么、、，不是直角三角形，不符合题意．
故选：A
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
利用勾股定理的逆定理求解
例题：（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．

(1)求的长；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．
（1）利用勾股定理直接计算即可解题；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形且，
∴．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且是直角；
（2）解：的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．

(1)求证：：
(2)如果平分，且，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
（2）解：过点A作，垂足为E，，

∵平分，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：，
∴的面积为．
3．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
【答案】(1)是直角三角形；
(2)．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用．
（1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由是的边上的高，利用面积法计算即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
根据勾股定理，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是的边上的高，
∴，
∴．
勾股定理逆定理的实际应用
例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见详解
(2)9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）设米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）解：设米，则米，
∴米
在中，由勾股定理得：，
解得：
则
答：的长为9米．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)千米．
【分析】（）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可；
（）根据勾股定理解答即可；
本题考查了勾股定理及逆定理及垂线段最短在实际生活中的运用，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用.
【详解】（1）是，理由，
在中，，，
∴，
∴
∴，
根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路；
（2）设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
2．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．

(1)求的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？
【答案】(1)
(2)符合，理由见解析
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求出；
（2）根据勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】（1）解：在中，，
由勾股定理得，．
，
．
（2）解：由（1）知，
在中，，
，
由勾股定理的逆定理得，是直角三角形，
，
．
故该车符合安全标准．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
(1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
(2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
【答案】(1)是直角三角形；
(2)甲方案所搭建的传送带较短．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形是解决问题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
（2）由的面积求出，得出，即可得出结果．
【详解】（1）解：是直角三角形；
理由如下：
∴，，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）解：甲方案所搭建的传送带较短；
理由如下：
∵是直角三角形，
∴的面积，
∴（m），
∵，，
∴，
∴甲方案所搭建的传送带较短．
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的定义和三角形内角和，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和，可以判断各个选项中的条件，能否使得是直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：，，
，
是直角三角形，故选项A不符合题意；
，，
最大的，
不是直角三角形，故选项B符合题意；
，
，
是直角三角形，故选项C不符合题意；
，
化简，得：，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．mB．mC．mD． m
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故选∶A．
3．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．分三种情况结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：展开成平面后，连接，则的长就是绳子最短时的长度，
分为三种情况：
如图1，
在中，由勾股定理得：；
如图2，，
在中，由勾股定理得：，
如图3，，
在中，由勾股定理得：，
即蚂蚁爬行的最短路径是．
故选：C
4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①用等积法求出即可判断；
②用勾股定理求出即可；
③根据平行线的判定方法进行判断即可；
④连接并延长交与点G，根据等腰三角形的性质即可判定．
【详解】解：①，
，
∴，故此项正确；
②，
，故此项正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故此项正确；
④连接并延长交与点G，如图所示：
∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∵为等腰三角形，为底，
∴平分，故此项正确，
综上分析可知，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理，垂直平分线的判定，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
5．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理、以及根据图形找规律，利用等腰直角三角形性质和勾股定理得出、、，根据其体现出来的规律，表示出，即可解题．
【详解】解：为等腰直角三角形，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
的长度为，
故选：B．
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，，则以为直径的半圆的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理正确求出的长是解题关键．根据正方形的面积公式可求出，，结合勾股定理可求出，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是100和36，
∴，，
∵，
∴，
∴以为直径的半圆的面积是．
故答案为：．
7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ．
【答案】/135度
【详解】本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质，过点作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【解答】解：如图，过点作，连接，
由勾股定理得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），含直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，求得，由折叠的性质得到，，设，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
设，
，
，，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题．
【详解】解：由题知，
令，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
又∵四边形和的面积和为5，
∴，
即，
∴，
则．
又∵四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，
将四部分的面积相加得，
，
∴，
则．
∴，
则（舍负），
即的值为．
故答案为：．
10．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 三角形；
（2）若，则边上的“中高距”为 ．
【答案】 等腰 /
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定：
（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解；
（2）在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到，在中，可得，从而得到的长，即可求解．
【详解】解：∵边上的“中高距”为0，
∴边上的高线垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰
（2）在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴．
故答案为：
三、解答题
11．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，．
(1)请判断的形状，并证明；
(2)过点B作于点E，交于点F，求和的长．
【答案】(1)等腰三角形，证明过程见详解；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，熟知相关定理是正确解决本题的关键．
（1）用勾股定理先求出的长，再用勾股定理求出的长即可证明结论；
（2）用等积法求出，作于H，先证明设，得，设，则，用勾股定理即可求出．
【详解】（1）是等腰三角形．
证明：中，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
是等腰三角形；
（2）解：，即，
，
作于H，
是等腰三角形，且，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即．
12．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路，的长度．
(2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用．
【答案】(1)7千米，千米
(2)修建公路的费用为万元
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）利用三角形的等面积方法即可求解．
【详解】（1）解：∵，千米，千米，
∴（千米）．
∵千米，
∴千米，
∴（千米）．
（2）∵，
∴，
解得千米，
∴修建公路DH的费用为（万元）
13．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；
(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．
【答案】(1)
(2)小正方形EFGH的边长为3
【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，整体思想，面积法，掌握面积法以及整体思想是解题的关键．
（1）将正方形的面积用四个全等的直角三角形的面积加正方形的面积表示，再整理即可；
（2）根据直角三角形的面积为54，列出等式，再求出即可．
【详解】（1）解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，，
，
整理，得；
（2）直角三角形的面积为54，，
，，
，
小正方形的面积，
小正方形的边长为3．
14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）学校有一块四边形的空地，之间有一条垂直于的小路，如图． 学校计划在这块空地上种植花卉． 已知：米，米，米，米．

(1)这块空地的面积是多少平方米？（小路的面积忽略不计）
(2)顶点到小路的距离是多少米？
【答案】(1)36平方米
(2)2.4米
【分析】(1)先由勾股定理求出米，再用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后用空地的面积计算即可；
(2) 过点D作于E，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
由勾股定理，得(米)，
∵米，米
∴
∵
∴
∴，即是直角三角形，
∴空地的面积（平方米），
答：空地的面积为36平方米．
（2）解：如图，过点D作于E，

由（1）知是直角三角形，
∴，
∴(米)，
答：顶点到小路的距离是2.4米
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
15．（23-24八年级上·四川巴中·期末）我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
(1)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明．
(2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】此题考查了平方差公式，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）根据勾股顶点定义列出关系式，再由勾股定理列出关系式，判断即可得证；
（2）根据，得到，由（1）中的方法得，在中，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且，是边上的高，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，是边上的高，，，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
则．
16．（23-24八年级上·河南南阳·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
（1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________．

（2）【知识迁移】在第（1）问的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置，并求出的距离．

【答案】（1）50千米；（2）图形见详解，的距离为16千米．
【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质：
（1）构建直角三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答．
【详解】解：（1）过点作，如图：

∵，
∴四边形是矩形，
则
在中，（千米）
则两个村庄的距离为50千米；
（2）如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，

设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，
，
解得
即AP的距离为16千米
17．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）如图，的平分线交于点E，D为边上一点，且满足．
①求证：；
②若，，，求的长．
（2）在长方形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处．
①如图1，若，求的度数；
②如图2，当，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②4；（2）①；②
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，
（1）①利用角平分线定义得出，进而可得出，然后根据平行线的判定即可得证；
②利用角平分线和平行线的性质可得出，利用等边对等角可得出，最后利用勾股定理求解即可；
（2）①利用三角形外角的性质求出的度数，利用翻折的性质可求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解；
②求出，，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1）①∵平分，
∴，
又，
∴，
∴；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵翻折，
∴，
又，
∴；
②∵翻折，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得．
18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，．
(1)如图①，若，过点作交轴于点，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上运动，且，过点作交轴于点，连接，当时，求的度数．
(3)如图③，若是线段上的一个动点，点在内部，，，连结，设，求的面积关于的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质与判定；
（1）由可证，可得，即可求解；
（2）由面积法可得，可证，由可证，可得，由三角形内角和定理可求解；
（3）由勾股定理的逆定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由面积关系可求的面积，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，，
，
，
，
，
又， ，
，
，
点；
（2）如图2，过点作于，于，连接，
延长至，使，连接，
由（1）可得
， ， ，
，
，
， ，
平分，
，
，
，
， ，
，
又，
，
，
，
，
．
（3）如图所，连接，过点作于点，于点
，，
，，，
四边形是长方形，
，
，，
的面积为．