初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质随堂练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质随堂练习题，共84页。

利用平行四边形的性质求解
例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，平行四边形中，、相交于点，交边于，连接，若，，则 °．
2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，，的坐标分别是，，，要使四边形、、、为平行四边形，则顶点的坐标是 ．
3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
利用平行四边形的性质证明
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，E是平行四边形内一点，，，．
(1)求证：；
(2)求证：是为等腰直角三角形；
(3)判断的数量关系并说明理由．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，中，点E在边上，且，过点A分别作交线段于点P，交线段延长线于点Q，连接．
(1)求证：；
(2)若点F在边BC上，且，如图（1），试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)若点F在线段上，且，如图（2），当，时，求的长．
判断能否构成平行四边形
例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（ ）
A．B．C．D．
添一个条件成为平行四边形
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．

2．（21-22八年级下·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒．
证明四边形是平行四边形
例题：（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·重庆北碚·期末）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的度数．
平行四边形中的折叠问题
例题：（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为 ．

2．（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．

3．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
利用平行四边形的性质作图
例题：（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形是平行四边形，连接．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，，若，，，求四边形的面积．
2．（22-23八年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，平分交延长线于点．

(1)请用尺规作图法作于（只保留作图痕迹）；
(2)证明．
3．（22-23八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）

(1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线；
(2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线．
利用平行四边形的性质与判定综合
例题：（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．

(1)若，求的度数；
(2)探索，和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长．
2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
一、单选题
1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）在中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的邻角相等
B．平行四边形的两条对角线互相垂直
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，、是的对角线，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，．平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A．10B．6C．D．
5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，点E是的中点，点F是内一点，且是，连接并延长，交于点G．若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，平分，为上一点，若，则 ．

7．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ．
8．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点是线段上一动点，以，为邻边作，则对角线的最小值是
9．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，，，垂足为，点分别是的中点．若，则的长为 ．

10．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在平行四边形中，将绕点C顺时针旋转30°得到，将绕点A顺时针旋转30°得到，连接、、．点M、N分别是、的中点，若的面积是2，则 ．

三、解答题
11．（22-23八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，点E为的中点，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)在图①中，在上找一点F，使得；
(2)在图②中，在上找一点P，使得平分．
12．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
13．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
14．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作．
(1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
15．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知：如图，在四边形中，，平分交于点E，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接、，若，求的度数．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置．
(1)证明；
(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；
(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
17．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点．

(1)求证：；
(2)从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由；
(3)请直接写出线段，，之间的数量关系．
18．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
19．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，E是上一点，连接，.
(1)如图1，若分别平分和，求证：；
(2)如图2，连接交于O，若，，求的长；
(3)在（1）的条件下，将绕点C顺时针旋转得到，直线交于F，当时，求的面积.
20．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
21．（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知，如图，．
(1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：；
(2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点．
①求证：；
②连接，求证：．
22．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
②如图3，当点在线段上时，求证：．
平行四边形的性质和判定期末真题汇编之八大题型
利平行四边形的性质求解
例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质；根据和的平分线交于边上一点，结合平行四边形的性质，得出，，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，分别是和的平分线，
，，
，，，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，平行四边形中，、相交于点，交边于，连接，若，，则 °．
【答案】40
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．由平行四边形的性质可得，，可求的度数，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
∴，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：40；
2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，，的坐标分别是，，，要使四边形、、、为平行四边形，则顶点的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．作出图形，分、、为对角线三种情况进行求解．
【详解】解：如图所示，

①为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，点D向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到点A，
∴将点B向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到点，
∴点的坐标为，
②为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，
点A向右平移5个单位，得到点B，
∴将点D向右平移5个单位，得到点，
点的坐标为，
③为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，
点B向左平移5个单位，得到点A，
∴将点D向左平移5个单位，得到点，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标是或或
故答案为：或或
3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】1或9
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，根据四个点的坐标求出，，，，根据平行四边形的判定得出当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时，；
②当点P在点E的右侧时，；
综上所述，当的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9．
利用平行四边形的性质证明
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，E是平行四边形内一点，，，．
(1)求证：；
(2)求证：是为等腰直角三角形；
(3)判断的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由平行四边形中对角相等可得，结合，，即可证明；
（2）延长交于F，连接，先证是等腰直角三角形，再证，推出，即可证明是为等腰直角三角形；
（3）根据是等腰直角三角形，可得，，根据可得，通过等量代换可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长交于F，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：，
理由如下：由（2）可得是等腰直角三角形，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质：
（1）先根据平行四边形的性质得出，，再根据证明即可；
（2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，再根据推出，进而求出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
即的周长为18．
2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质及等角的补角相等即可证明；
（2）由平行四边形的性质得，由（1）所证及，即可证明；
（3）由（2）及已知得，，进而得；即可得；证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，题目不难，灵活运用这些知识是关键．
3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，中，点E在边上，且，过点A分别作交线段于点P，交线段延长线于点Q，连接．
(1)求证：；
(2)若点F在边BC上，且，如图（1），试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)若点F在线段上，且，如图（2），当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．证明见解析
(3)
【分析】（1）利用垂直的定义，平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用（1）的结论和直角三角形的全等的判定定理解答即可；
（3）利用（2）的方法解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：由（1）知：，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
由（1）知：，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
判断能否构成平行四边形
例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不合题意；
C、，，不能判断这个四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、∵，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】解：A、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
B、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误，符合题意；
C、∵，∴，又∵，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D、，根据两对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
；
；
∴四边形是平行四边形，故B正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故C正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又∵，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故D正确；
添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形，
故选：A．
添一个条件成为平行四边形
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ．
【答案】8
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键．
直接利用平行四边形的判定方法得出时四边形是平行四边形．
【详解】解：当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
故答案为：8．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．

【答案】
【分析】在中可得,即，添加，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】解：添加条件，
四边形是平行四边形，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键．
2．（21-22八年级下·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒．
【答案】或
【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】设点P运动了t秒，
∴，，，，
①当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴；
②当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴，
综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
证明四边形是平行四边形
例题：（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得，；结合，通过证明得，即可完成证明；
（2）过点作于点，由，推导得；结合，，，通过计算得；结合，，，通过计算得；通过关系计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵//，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·重庆北碚·期末）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)的长为
【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点作于点，证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，求出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：
在和中，
又
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)104度
【分析】（1）平行四边形的性质，得到，，进而得到，推出，得到，即可得证；
（2）邻补角求出，平行四边形的性质，得到，结合，求出，进而得到的度数，再利用外角的性质，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理．
平行四边形中的折叠问题
例题：（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键；
由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
故答案为：
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为 ．

【答案】/110度
【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明，得，由翻折可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：设，交于点F，如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
2．（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．

【答案】
【分析】设，由折叠的性质得，①，再根据平行线的性质得到②，，通过计算即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，

∵，
∴，
根据折叠的性质得，，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
得，即，
由平角的性质得，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是利用参数构建方程解决问题．
3．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；
（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．
【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）如图，作AG⊥BE于点G，
则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠AEB=∠FCE=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴GE==，
∴BE=BG+GE=，
∴D′F=．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．
利用平行四边形的性质作图
例题：（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；
（1）取的中点，连接即可；
（2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求；
（3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可．
【详解】（1）如图①中，线段即为所求；
（2）如图②中，点即为所求；
（3）如图③中，线段即为所求．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形是平行四边形，连接．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，，若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的作法，即可解答；
（2）证明为直角三角形，再证明四边形的面积等于的面积，即可解答．
【详解】（1）解：如图，即为所求图形，

（2）解：，，，
，
，
根据，可得，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
跟上述同理，可得，
四边形为平行四边形，
，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（22-23八年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，平分交延长线于点．

(1)请用尺规作图法作于（只保留作图痕迹）；
(2)证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线即可；
（2）由平行线的性质以及角平分线的性质可得，在根据等腰三角形的三线合一可求得．
【详解】（1）解：作图如下：

（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握过直线外一点作已知直线的垂线以及等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（22-23八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）

(1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线；
(2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）连接，由得，结合平行线的性质可得，进而可得平分，即即为所求；
（2）连接交于点O，连接并延长交点F，连接，为所求．
【详解】（1）解：如图：即为所求．

（2）解：如图：即为所求．

【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
利用平行四边形的性质与判定综合
例题：（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明得到，进而证明得到，由此即可证明四边形是平行四边形；
（2）如图所示，过点C作于H，由平行四边形的性质得到，证明为的中位线，得到，再证明，求出，则，利用勾股定理求出则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，过点C作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵G为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．

(1)若，求的度数；
(2)探索，和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，然后证明，进而可求出的度数；
（2）连接，过点 E作交于点G，证明，可得，，则是等腰直角三角形，求出即可得出答案；
（3）证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求出，，然后可得的长．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）；
理由：如图，连接，过点 E作交于点G，

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，即，
由（1）可知，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
，
；
（3）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角的和差计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接，，，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
；
（2）证明：四边形为平行四边形，
，，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，，
四边形为平行四边形；
（3）如图，连接，，，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
一、单选题
1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）在中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合得出，再由平行线的性质计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的邻角相等
B．平行四边形的两条对角线互相垂直
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据平行四边形的性质和判定分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A．平行四边形的对角相等，邻角互补，故选项错误，不符合题意；
B．平行四边形的两条对角线互相平分但不一定垂直，故选项错误，不符合题意；
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，、是的对角线，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质．
根据平行四边形的对角线互相平分和勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
，
，
故选：．
4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，．平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A．10B．6C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，点E是的中点，点F是内一点，且是，连接并延长，交于点G．若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】延长交的延长线于H，可证是的中位线，由中垂线的性质可得，可求，由“”可证，可得，根据线段的和差可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵E是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的中垂线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题
6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，平分，为上一点，若，则 ．

【答案】4
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到，，推出，再利用角平分线的定义得出，继而得出，再利用等角对等边得出结果．
【详解】解：在平行四边形中，
，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
7．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．根据平行线的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故答案为：4．
8．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点是线段上一动点，以，为邻边作，则对角线的最小值是
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，勾股定理；平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵平行四边形的对角线的交点是的中点，
∴当时，最小，即最小．
在中，，，

，，
，
又，
是的中位线，
，
．
故答案为．
9．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，，，垂足为，点分别是的中点．若，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查求线段长，涉及平行四边形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理结合含角的直角三角形的性质得出，最后再由三角形中位线定理即可得出答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
【详解】解：在，，则，
，，
在中，由等腰直角三角形性质得到，
在，则，
在中，，设，则，解得，
，
点分别是的中点，
是的中位线，则，
故答案为：．
10．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在平行四边形中，将绕点C顺时针旋转30°得到，将绕点A顺时针旋转30°得到，连接、、．点M、N分别是、的中点，若的面积是2，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟知旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键．根据的面积和，可求出的长，再结合中位线的性质可得出的长即可．
【详解】解： 如图：过点E作的垂线，垂足为G，连接，交于点P，

∵，
∴，
由旋转的性质可得：，
∵的面积是2，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由旋转可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，即,
又∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴点P与点M重合，
又∵点N为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
三、解答题
11．（22-23八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，点E为的中点，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)在图①中，在上找一点F，使得；
(2)在图②中，在上找一点P，使得平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，与相交于点O，再连接并延长交于点F，根据平行四边形的性质得到，又，由三角形的中位线性质，即；
（2）分别连接相交于点M，连接并延长交于点P，可得出与是的中线，且交于点M，由三角形三条中线交于一点可得也是的中线，又由可得平分．
【详解】（1）如图所示，点F即为所求；

（2）如图所示，点P即为所求．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、三角形的中位线性质、等腰三角形的性质等知识．
12．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理：
（1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证；
（2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：与的数量关系为：，理由如下：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；
（）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
14．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作．
(1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形；理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，，由题意可知，可证得，进而可知，即可证得四边形是平行四边形；
（2）延长，交于，取中点，连接，由平行线的性质可得，，由题意可知为的中位线，先证四边形为平行四边形，可得，进而证得，即可证明，可得，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
15．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知：如图，在四边形中，，平分交于点E，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接、，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，求得，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据平行四边形的性质得到，求得；
（3）根据等边三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴,
又，
∴,
∴；
，
∴,
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）证明：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵中，，
∴，
（3）解：∵为等边三角形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置．
(1)证明；
(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；
(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析
【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明；
（2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明；
（3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明．
【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
翻折得到，
，
，
，
，
，
；
（2）连接交于点O，连接，
点F与D关于对称，
，
当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为；
（3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上．
理由：与互相平分，，
，
，
，
，
即，
翻折得到，
，
点D、C、F在同一条直线上．
17．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点．

(1)求证：；
(2)从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由；
(3)请直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)两条路线长度相等，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）连接与交于点，证明四边形为平行四边形，推出为的中位线，进而得到，即可；
（2）根据平行四边形的对边相等，即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线与点，证明四边形为平行四边形，推出，得到，再根据，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接与交于点．
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵为中点，
∴为的中位线．
∴，又点，，，共线，即．
∵，即，
∴，即．

（2）两条路线长度相等．理由如下：
由（1）知，，，
∴垂直平分．
∴．
由（1）知，四边形为平行四边形，
∴，．
由题意，得小明的路线长，小亮的路线长，
∴，即两条路线长度相等．
（3）过点作，交的延长线与点，

由（1）知，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质．添加辅助线构造平行四边形和全等三角形，是解题的关键．
18．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键；
（1）根据三角形中位线定理利用一组对边平行且相等的四边形即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质，证明，即可解决问题；
（3）结合（2）证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）证明：点D，E分别是边，的中点，
， ，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
19．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，E是上一点，连接，.
(1)如图1，若分别平分和，求证：；
(2)如图2，连接交于O，若，，求的长；
(3)在（1）的条件下，将绕点C顺时针旋转得到，直线交于F，当时，求的面积.
【答案】(1)见解析
(2)AB＝4+
(3)
【分析】
（1）利用平行四边形的性质可得，由角平分线的性质可得，即可得，进而可证明结论．
（2）过点E作于点M，证明为等边三角形，可得， ，再利用平行四边形的性质可 ，即可求解，的长，再通过证明，可得，可求解的长，进而可求解．
（3）过点作交的延长线于点，连接，易求，的长，再利用勾股定理求解的长，结合旋转的性质利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求解，，的长，再利用三角形的面积公式根据即可求解．
【详解】（1）
证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
分别平分和，
，，
，
，
．
（2）
）解：过点E作于点M，
，，
为等边三角形，
，
∵四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
∴四边形是等腰梯形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
过C点作交的延长线于点G，连接，
∵四边形为平行四边形，，
，，，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
由旋转可知：，，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的特征、勾股定理、全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线解决问题是解题的关键 ．
20．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)的面积为
(3)或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可；
（2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：如图①所示：

四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：如图②所示：

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图③所示：

，
∴当时，四边形是平行四边形，
①当时，，，
∴，
解得：；
②当时，，，
∴，
解得：；
③当时，，，
∴，
解得：；
④当时，，，
∴，
解得：；
∴或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
21．（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知，如图，．
(1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：；
(2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点．
①求证：；
②连接，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证；
（2）①由（1）中结论，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点作，交于点，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得，
由折叠得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交于点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
22．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
②如图3，当点在线段上时，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据已知条件得到，，再由平行四边形的判定即可得证；
（2）①连接，可知是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到；
②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：①，
理由如下：连接，如图所示：

由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：过点作交于点，如图所示：

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，则，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键