人教A版高中数学必修第二册讲义答案

这是一份人教A版高中数学必修第二册讲义答案，共228页。
课堂知识讲义详解答案第六章　平面向量及其应用6.1　平面向量的概念[必备知识·情境导学探新知]知识点1　(1)大小　方向　(2)大小　方向思考1　提示：海拔不是向量，它只有大小没有方向．海拔的正负，只是相对规定的标准来说的，不是指方向，不是向量．知识点2　(1)方向　起点　方向　长度　(2)长度　|AB|思考2　提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．知识点3　0　0　1　相同　相反　a∥b　平行　相等　相同　a＝b课前自主体验1．(1)×　(2)×　(3)×2．6　[由向量的几何表示，知可以写出6个向量，它们分别是AB，AC，BC，BA，CA，CB．][关键能力·合作探究释疑难]例1　解：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．跟进训练1．③　[①错误．若b＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上．]例2　解：设比例尺为1∶50 000，如图．小明的位移表示如下：向量OA表示从教学楼到图书馆的距离与方向；向量AB表示从图书馆到食堂的距离与方向；向量BC表示从食堂到操场的距离与方向．发现规律起点　方向　模的大小跟进训练2．解：(1)∵|OA|＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点．(2)∵|OB|＝22＝22+22，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点．例3　解：(1)由满足共线向量的条件得，与向量FC共线的向量有：CF，BC，CB，BF，FB，ED，DE，AE，EA，AD，DA．(2)证明：在▱ABCD中，AD綉BC．又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綉BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE綉FD，∴BE＝FD．跟进训练3．解：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴与EF共线的向量为FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB．(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC，∴EF＝BD＝DC．∵AB，BC，AC均不相等，∴与EF长度相等的向量为FE，BD，DB，DC，CD．(3)与EF相等的向量为DB，CD．[学习效果·课堂评估夯基础]1．C　[质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．]2．C　[由题图可知，三个向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]3．ACD　[对于A，相等向量的起点未必相同，所以A错误；对于B，零向量与单位向量是平行向量，正确；对于C，有向线段AB与BA方向不同，不表示同一个向量，故C错误；对于D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选ACD．]4．(1)AB　DC　(2)6　[(1)在▱ABCD和▱ABDE中，∵AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC．(2)由(1)知，ED＝DC，∴E，D，C三点共线，|EC|＝|ED|＋|DC|＝2|AB|＝6．]课堂小结1．提示：数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、 零来表示，可以比较大小，如长度、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．2．提示：平行．3．提示：向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同．6.2　平面向量的运算6.2.1　向量的加法运算[必备知识·情境导学探新知]知识点1　1．(1)两个向量和　(2)0　a　2．a＋b　AC　不共线　AC3．≤　方向相同思考　提示：(1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．知识点2　(1) b＋a　(2)a＋(b＋c)课前自主体验1．(1)√　(2)×　(3)×2．DB　[由平行四边形法则可知DA+DC＝DB．]3．CD　[CB+AD+BA＝CB+BA+AD＝CD．][关键能力·合作探究释疑难]例1　解：(1)如图①，在平面内任取一点O′，作O'D＝a，DE＝b，连接O′E，则O'E＝a＋b．(2)如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA+OB＝a＋b．跟进训练1．解：　(1)首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b.如图所示．(2)法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA+OB＝a＋b．再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE＝OD+OC＝a＋b＋c即为所求．例2　解：(1)AB+CD+BC＝(AB+BC)＋CD＝AC+CD＝AD．(2)AB+FA+BD+DE+EF＝AB+FA＋(BD+DE+EF)＝AB+FA+BF＝(AB+BF)＋FA＝AF+FA＝0．跟进训练2．解：如图所示，①易知四边形OAFE为平行四边形，连接OF，则OA＋OE＝OF．②连接OC，则四边形OABC为平行四边形，连接AC，则AO＋AB＝AC．③连接DB，则四边形AEDB为平行四边形，连接OD，则AE＋AB＝AD．例3　解：如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船在静水中的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB＋AD＝AC，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，因为∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°．答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．跟进训练3．解：如图所示，设AB，BC分别是直升机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC．在Rt△ABD中，|DB|＝20 km，|AD|＝203 km．在Rt△ACD中，|AC|＝AD2+DC2＝403 km，∠CAD＝60°，即此时直升机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403 km处．[学习效果·课堂评估夯基础]1．AB2．D　[原式＝(AB＋BM)＋(PB＋BO＋OP)＝AM＋0＝AM．故选D．]3．13　[因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]4．20　[根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度的大小为1032+102＝20(km/h)．]课堂小结1．提示：两个向量相加不是两个向量的模相加，向量相加要考虑大小及方向，其运算法则有三角形法则和平行四边形法则．2．提示：使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．3．提示：平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．4．提示： |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．6.2.2　向量的减法运算[必备知识·情境导学探新知]知识点1　(1)相等　相反　－a　(2)a　－b　0知识点2　(－b)　相反向量　BA　终点　终点思考　提示：当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．课前自主体验1．(1)×　(2)√　(3)√2．a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC＝a＋b，BD＝b－a．][关键能力·合作探究释疑难]例1　解：法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c．法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作BC＝－c，连接OC，则OC＝a＋b－c．跟进训练1．①④　[①MO＋ON＝MN；②MO－ON＝－OM－ON＝－(OM＋ON)≠MN；③OM－ON＝NM；④ON－OM＝MN，故填①④．]例2　解：(1)AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC．(2)法一：加法法则原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0．法二：减法法则(利用相反向量)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC-DB)＝CB＋BC＝0．法三：减法法则(创造同一起点)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0．(3)(AC＋BO＋OA)－(DC-DO－OB)＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0．跟进训练2．解：(1)OM-ON+MP-NA＝NM+MP-NA＝NP-NA＝AP．(2)(AD-BM)＋(BC-MC)＝AD+MB+BC+CM＝AD＋(MB+BC+CM)＝AD＋0＝AD．例3　证明：在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得|CM|＝|AM|，|CA|＝|CB|．(1)在△ACM中，AM＝CM-CA＝a－b．于是由|AM|＝|CM|，得|a－b|＝|a|．(2)在△MCB中，MB＝AM＝a－b，所以CB＝MB-MC＝a－b＋a＝a＋(a－b)．从而由|CB|＝|CA|，得|a＋(a－b)|＝|b|．跟进训练3．(1)平行四边形　(2)a－b＋c　[(1)∵OA+OC＝OB+OD，∴OA-OD＝OB-OC，∴DA＝CB．∴|DA|＝|CB|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)在△AOD中，AD＝OD-OA＝OD－a．在△BOC中，BC＝OC-OB＝c－b．又在▱ABCD中，AD＝BC，故OD－a＝c－b，即OD＝a－b＋c．][学习效果·课堂评估夯基础]1．C　[在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD-AC＝CD．故选C．]2．B　[原式＝(OP+PQ)＋(PS+SP)＝OQ＋0＝OQ．]3．BCD　[由条件可知，当m≠0且n≠0时，B，C，D项都成立，故选BCD．]4．0　2　[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0．又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2．]课堂小结1．提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．提示：“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量．”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．提示：AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并掌握．4．提示：它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．6.2.3　向量的数乘运算[必备知识·情境导学探新知]知识点1　(1)向量　λa　|λ||a|　相同　相反　0　(2)(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb　(3)向量　λμ1a±λμ2b思考1　提示：不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的．思考2　提示：不一定，还有可能λ＝0．知识点2　b＝λa课前自主体验1．(1)√　(2)×　(3)√2．－2a＋8b　[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．][关键能力·合作探究释疑难]例1　解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．(2)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0．(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．跟进训练1．解：3x－2y＝a，① －4x＋3y＝b，②由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b．所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．例2　B　[法一：∵D是AB的中点，∴BD＝12BA，∴CD＝CB+BD＝－BC＋12BA．法二：CD＝12(CB+CA)＝12[CB＋(CB+BA)]＝CB＋12BA＝－BC＋12BA．]跟进训练2．D　[因为E是BC的中点，所以CE＝12CB＝－12AD＝－12b，所以DE＝DC+CE＝AB+CE＝a－12b．]例3　解：(1)证明：∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB，∴AB与BC共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，∴8－λk＝0，k－2λ＝0， 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．跟进训练3．解：(1)证明：当a＝13，b＝23时，OC＝13OA＋23OB，所以23(OC-OB)＝13(OA-OC)，即2BC＝CA，所以BC与CA共线．又BC与CA有公共点C，所以A，B，C三点共线．(2)a＋b为定值1，理由如下：因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，不妨设AC＝λAB(λ∈R)，所以OC-OA＝λ(OB-OA)，即OC＝(1－λ)OA＋λOB，又OC＝aOA＋bOB，且OA，OB不共线，则a＝1－λ，b＝λ， 所以a＋b＝1(定值)．[学习效果·课堂评估夯基础]1．ABC　[A正确，∵2＞0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|．B正确，∵5＞0，∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2＜0，∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25．C正确，按照相反向量的定义可以判断．D不正确，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，∴a－b与－(b－a)为相等向量．故选ABC．]2．C　[因为M是BC的中点，所以AM＝12(a＋b)．]3．2b－a　[原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝－a＋2b．]4．－2　[因为点P在直线AB上，所以AP＝λAB，λ∈R，OP-OA＝λ(OB-OA)，即OP＝λOB＋(1－λ)OA，所以1－λ＝3，λ＝x， 所以x＝－2．]课堂小结1．提示：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．2．提示：若向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0)．3．提示：要证三点A，B，C共线，只需证明AB与BC或AB与AC共线即可．6.2.4　向量的数量积第1课时　向量数量积的概念及性质[必备知识·情境导学探新知]知识点1　1．非零　0≤θ≤π　同向　反向　垂直思考1　提示：2．非零　|a||b|cos θ　|a||b|cos θ　0思考2　提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式．3．A1B1 思考3　提示：OM1＝|a|cos θe．知识点2　(2)a·b　(3)|a||b|　－|a||b|　|a|2　a·a　≤思考4　提示：不一定，也可能a＝0或b＝0．思考5　提示：a·b0时，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是锐角或0°．课前自主体验1．B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×-22＝－62．]2．120°3．15a　[向量b在a方向上的投影向量为(|b|cos θ)aa＝2×cos 60°×15a＝15a．][关键能力·合作探究释疑难]例1　解：如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作▱OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b.因为|a|＝|b|＝2，所以▱OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.跟进训练1．解：(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则AB＝BD，所以∠DBC为向量AB与BC的夹角．因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，所以向量AB与BC的夹角为120°．(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以向量AE与EC的夹角为90°．例2　解：(1)因为AD∥BC，且方向相同，所以AD与BC的夹角是0°，所以AD·BC＝|AD||BC|·cos 0°＝3×3×1＝9．(2)因为AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，所以AB·DA＝|AB||DA|·cos 120°＝4×3×-12＝－6．发现规律(3)|a||b|cos θ跟进训练2．解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30.(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×12＝15.例3　解：(1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×-12b＝－32b.(2)∵|a|＝3，∴aa＝13a，∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°aa＝1·-12·13a＝－16a.发现规律|a|·cos θ·bb跟进训练3．解：设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝a·bab＝2412×8＝14，∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·bb＝12×14×18b＝38b.[学习效果·课堂评估夯基础]1．D　[如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.故选D．]2．C　[当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18.故选C．]3．π3　[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·bab＝12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．]4．a　[b在a方向上的投影向量为|b|cos π3·aa＝2×12a＝a．]课堂小结1．提示：[0，π]．2．提示： a·b＝|a||b|cos θ，从而cos θ＝a·bab．3．提示：b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．4．提示：a⊥b⇔a·b＝0．反之成立．5．提示：|a·b|≤|a||b|．第2课时　向量数量积的运算律[必备知识·情境导学探新知]知识点1　(1)b·a　(2)a·(λb)　(3)a·c＋b·c知识点2　(1)a2＋2a·b＋b2　(2)a2－2a·b＋b2　(3)a2－b2课前自主体验1．(1)×　(2)×2．－7[关键能力·合作探究释疑难]例1　解：(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．跟进训练1．－6　[由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12-2e1·e2-8e22＝3－2×12－8＝－6．]例2　解：(1)由题意可知a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×1＋4×1＝12，因此|a＋2b|＝23．(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．跟进训练2．解：因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10．又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．例3　(1)B　[由题意知，m·nmn＝m·n34n2＝13，所以m·n＝14|n|2＝14n2，因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即14tn2＋n2＝0，所以t＝－4．](2)解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke2 2＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．母题探究解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．跟进训练3．解：由已知条件得a+3b·7a-5b=0，a-4b·7a-2b=0，即7a2+16a·b-15b2=0，　　　①7a2-30a·b+8b2=0，　　　②②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝a·bab＝12b2b2＝12．∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．[学习效果·课堂评估夯基础]1．B　[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]2．A　[∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝32．]3．3　[因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又|a－b|2＝3，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝3．]4．π6　[|a－b|＝a-b2＝a2+b2-2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·a-baa-b＝22-12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6．]课堂小结1．提示：(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．提示：向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a·b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x＝2203.(3)由题干图知这次数学成绩的平均数为：40+502×0.005×10＋50+602×0.015×10＋60+702×0.02×10＋70+802×0.03×10＋80+902×0.025×10＋90+1002×0.005×10＝72．]课堂小结1．提示：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．提示：9.2.4　总体离散程度的估计[必备知识·情境导学探新知]知识点　1．　　2．(1)　S2 (2)　3．　s2　4．离散程度　波动幅度　大　小　5．n1n[s12＋(x1－x)2]＋n2n[s22＋(x2－x)2]课前自主体验1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√2．2　23．38　11.2[关键能力·合作探究释疑难]例1　(1)A　(2)0.9　31010　[(1)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28，因为加入一个新数据4，所以x＝28+48＝4.又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝7×2+4-428＝74x甲＝x丁，且s甲2＝s乙2