人教A版高中数学必修第二册微专题强化练1答案

这是一份人教A版高中数学必修第二册微专题强化练1答案，共5页。
微专题强化练(一)1．C　[将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1. 则M1，12，C(1，1)．所以EM＝1-x，12，EC＝(1－x，1)，所以EC·EM＝(1－x，1)·1-x，12＝(1－x)2＋12.因为0≤x≤1，所以12≤(1－x)2＋12≤32，即EC·EM的取值范围是12，32．]2．B　[因为点M在△ABC内部(包括边界)，所以0≤λ≤23，由CA·BM＝CA·(BC+CM)＝CA·BC+13CA+λCB＝－2＋43＋2λ＝－23＋2λ∈-23，23．]3．C　[因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且OA＝mOB＋2nOC(m>0，n>0)，所以m＋2n＝1，所以2m＋1n＝2m+1n(m＋2n)＝4＋4nm＋mn≥4＋24＝8，当且仅当4nm＝mn，即m＝12，n＝14时等号成立．]4．C　[以BC中点M为原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)．∵等边△ABC的边长为2，∴M(0，0)，A(0，3)，B(－1，0)．∴AB＝(－1，－3)，AM＝(0，－3)，∴AB－tAM＝(－1，－3＋3t)，∴|AB－tAM|＝-12+-3+3t2≥2，化简得t2－2t≥0，∴t≥2或t≤0.故选C．]5．B　[法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有PB+PC＝2PD，则PA·(PB+PC)＝2PA·PD＝2(PE+EA)·(PE-EA)＝2(PE2－EA2)．而EA2＝322＝34，当点P与点E重合时，PE2有最小值0，故此时PA·(PB+PC)取得最小值，最小值为－2EA2＝－2×34＝－32.法二：(坐标法)如图②，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB+PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y-322－32，当x＝0，y＝32时，PA·(PB+PC)取得最小值，最小值为－32.故选B．]6．3　[因为AE，AD共线，设AE＝kAD(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则AD＝2AB-AC，AE＝2kAB－kAC，又AE＝λAB＋μAC，∴λ=2k，μ=-k，∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]7．[0，22]　[法一：(坐标法)将矩形放在坐标系中，设P(x，y)，则A(0，0)，B(2，0)，PA+PB＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|PA+PB|＝2-2x2+-2y2＝2x-12+y2，转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍．由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等同时取最大值：2-12+1-02＝2.故|PA+PB|的取值范围是[0，22].法二：(基向量法)取AB的中点H，易知PA+PB＝2PH，∴|PA+PB|＝2|PH|，结合题意可知0≤|PH|≤|CH|＝2.故|PA+PB|的取值范围为[0，22]．]8．154　[如图，取EF的中点H，则DE·DF＝DH2－EF24＝DH2－14， 因为|CH|＋|DH|≥|CD|，所以|DH|≥|CD|－|CH|＝52－12＝2，所以DE·DF＝DH2－14≥4－14＝154．]9．解：(1)证明：当t＝1时，C(3，1)，则AB＝(－1，－2)，BC＝(4，－2)，所以AB·BC＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0.所以AB⊥BC，即△ABC为直角三角形．(2)AB＝(－1，－2)，AC＝(3，t－5)，所以AB+AC＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，所以|AB+AC|＝4+t-72.当t＝7时，|AB+AC|有最小值，最小值为2.10．解：(1)由|ka＋b|＝3|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，故|a|＝|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝2k2+28k＝k2+14k.(2)由(1)得a·b＝k2+14k＝14k+1k≥14×2k·1k＝12，当且仅当k＝1k，即k＝1时等号成立．∴a·b的最小值为12.设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·bab＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.