2024年辽宁省十四地市民间大联考中考第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年辽宁省十四地市民间大联考中考第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版），共36页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
1.请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
2.本本试卷共23道题，满分120分．考试时间共120分钟．
第一部分 选择题(共30分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 大荔冬枣开始采摘啦！每筐冬枣以2.4千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录则实际质量是（ ）
A. 2.8千克B. 2.2千克C. 2.1千克D. 2.4千克
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3. 我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为千米，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
6. 把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，一次函数的图象过点，则当时，的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 计算：___________．
12. 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得到，则点C坐标是__________．
13. 在如图所示电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形的顶点A的横坐标为3．反比例函数 的图象经过点 B，连接，过点 B作交x轴于点 D，则k的值是________．
15. 如图，在等腰中，，，D为边中点，E为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为．当时，的长度为______．
三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16 计算．
（1）；
（2）
17. 节能减排从我做起，只有坚持节约发展、清洁发展、安全发展，才能实现经济又好又快发展．为了节能减排，某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元．
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案．
18. 2023年10月，开州区某学校举办了以“莎姐守卫”未成年学生防性侵为主题的相关知识测试．为了了解学生对“莎姐守卫”未成年学生防性侵相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为，，，四个等级，分别是：
：，：，：，：．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．
八年级等级的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有1000名学生参赛，八年级有900名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
19. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间x（分钟）变化的函数图象．
（1）求该图象的函数表达式；
（2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由．
20. 为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
21. 如图，为直径，C，D为上的两点，且，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ．
①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ．
【类比分析】
（3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长．
23. 给定两个函数，，若对于任意一个x所对应的函数值，，我们用表示，中的较小值，即 则称为关于，的“二元最小值函数”．
（1）已知一次函数，请写出关于，的“二元最小值函数”，并写出当为何值时，函数随的增大而增大，求函数最大值；
（2）已知二次函数，，其中，求出两个函数所对应的图像的交点，的坐标，并求出关于，的“二元最小值”，写出当为何值时，函数随的增大而减小；
（3）直线与（2）中关于，的“二元最小值函数”围成的封闭图形内部有四个，均为整数的点，求的取值范围；
（4）若点为（2）中关于，的“二元最小值函数”上任意一点，与，构成讨论满足，时，点的个数．
辽宁省十四地市民间大联考第二次模拟数学
注意事项：
1.请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
2.本本试卷共23道题，满分120分．考试时间共120分钟．
第一部分 选择题(共30分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 大荔冬枣开始采摘啦！每筐冬枣以2.4千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录则实际质量是（ ）
A. 2.8千克B. 2.2千克C. 2.1千克D. 2.4千克
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了负数的意义，有理数的加法运算的应用．熟练掌握负数的意义是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．不是轴对称，是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：D．
3. 我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为千米，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，熟悉掌握科学记数法是解题的关键．
根据科学记数法的表示方法进行化简即可．
【详解】解：，
故选：B．
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及了同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
根据运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C正确；
D．，故D错误；
故选：C．
5. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数；（3）⇔方程没有实数根．先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况．
【详解】∵一元二次方程中，，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6. 把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．找出最简公分母是解此题的关键．
把分式方程化为整式方程，乘以最简公分母即可．
【详解】解：∵
∴，
∴方程的最简公分母是，
∴把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以即可．
故选C．
7. 如图，一次函数的图象过点，则当时，的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据函数图象找到当时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知y随x增大而减小，则当时，的取值范围是，
故选：A．
8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选：C．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可．
【详解】光线平行于主光轴，
，
，
，
，
，
．
故选B．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，再利用平行四边形的性质即可证明，即，即可求出，最后在中，利用勾股定理即可求出AE的长．
【详解】根据作图可知DE为的角平分线，即，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故选B．
本题考查角平分线的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．理解题意，判断出DE为的角平分线是解答本题的关键．
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
12. 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得到，则点C坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了图形变化，旋转，添加辅助线构造三角形全等是解题的关键．过点作轴于，过点作轴于，证明，即可得到答案．
【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，
A的坐标为，点B的坐标为，
，
轴，轴，
，
线段绕点A顺时针旋转得到，
，
，
，
，
在，中，
，
，
，
，
，
，
，
点C在第四象限，
故点C坐标是，
故答案为：．
13. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形的顶点A的横坐标为3．反比例函数 的图象经过点 B，连接，过点 B作交x轴于点 D，则k的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、菱形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质以及平行四边形的判定与性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得k的值．
【详解】解：如图，过点作于点，
点的横坐标为3，，
，，
四边形是菱形，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，点横坐标为，
，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
15. 如图，在等腰中，，，D为边的中点，E为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为．当时，的长度为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设与相交于F，分点F在D的上方和下方两种情况讨论即可．
【详解】解：设与相交于F，
当点F在点D的下方时，如图，
∵，，
∴，
∵D为边的中点， 沿DE折叠，点A的对应点为，
∴，，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
当点F在点D的上方时，如图，
同理：、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
当时，的长度为或，
故答案为：或，
三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. 计算．
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了有理数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）先计算乘方、除法、乘法后，再进行加减运算即可；
（2）先计算括号内的减法，再进行除法运算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
．
17. 节能减排从我做起，只有坚持节约发展、清洁发展、安全发展，才能实现经济又好又快发展．为了节能减排，某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元．
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案．
【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元
（2）当购买A型节能灯200只，B型节能灯100只时最省钱
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质的性质解答．
（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）设购买A型节能灯只，则购买B型节能灯只，费用为元，根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【小问1详解】
解：设1只A型节能灯的售价是元，1只B型节能灯的售价是元，
根据题意，得，
解得，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元．
【小问2详解】
设购买A型节能灯只，则购买B型节能灯只，费用为元，
则，
，
，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买A型节能灯200只，B型节能灯100只时最省钱．
18. 2023年10月，开州区某学校举办了以“莎姐守卫”未成年学生防性侵为主题的相关知识测试．为了了解学生对“莎姐守卫”未成年学生防性侵相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为，，，四个等级，分别是：
：，：，：，：．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．
八年级等级的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有1000名学生参赛，八年级有900名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1），，
（2）见解析； （3）估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有660人．
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，用样本估算总体，加权平均数，中位数．
（1）利用中位数和众数的定义即可求出和的值；利用八年级组的频数除以20即可得的值；
（2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
（3）分别利用1000和900乘以七、八年级的优秀率即可得．
【小问1详解】
解：八年级、组的频数和为，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在组，分别为87，88，
则其中位数，
根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为，
，
所以；
故答案为：87.5，88，35；
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
【小问3详解】
解：（人，
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有660人．
19. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间x（分钟）变化的函数图象．
（1）求该图象的函数表达式；
（2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由．
【答案】（1）
（2）该模式下烤制的食物可以健康食用．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式求解即可，设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式，确定解析式，从而求出求该图象的函数表达式；
（2）分别令，分别代入两个函数关系式中计算时间，比较判断即可．
【小问1详解】
设段的函数表达式为，
将点和点代入函数表达式，
得，
解得，
段的函数表达式为．
设段的函数表达式为，
将点和点代入函数表达式，
，
解得得．
段的函数表达式为．
∴该图象的函数表达式；
【小问2详解】
令，即，
解得，
令，即，
解得，（分钟）．
，
该模式下烤制的食物可以健康食用．
20. 为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
【答案】（1）
（2）当α从变化到的过程中，高度增加了
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，进而可求解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
小问1详解】
解：过点C作于点F，过点B作于点M，
，
由题意得：，
四边形为矩形，
．
，
．
，
．
，
答：支点C离桌面l的高度为；
【小问2详解】
解：过点C作，过点E作于点H，
，
，
，
当时，；
当时，；
，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了．
21. 如图，为直径，C，D为上两点，且，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径
【解析】
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据等腰三角形的性质和已知可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，最后利用平行线的性质即可解答；
（2）连接，根据切线的性质、圆周角定理推出，，根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ．
①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ．
【类比分析】
（3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长．
【答案】（1）两种证明见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，
（1）①证明即可证明结论，②证明即可证明结论；
（2）在上截取，连接，先证明，即可证明，根据勾股定理得出结论；
（3）在上截取，连接，在上截取，连接，证明，设，则，根据相似三角形性质列方程并解方程即可解决．
【详解】解：（1）①小明同学方法：在上截取 ，连接，如下图：
在等腰中， ，
，
，
，
，
，
在中，，
；
②小亮同学方法：过E作交的延长线于点 G，
在等腰中，，
，
，
，
，
在中，，
；
（2）在上截取，连接，
，
，
，
，
在中，，，
；
在中，，
；
（3）在上截取，连接，在上截取，连接，
在矩形中，，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
在中，，
．
23. 给定两个函数，，若对于任意一个x所对应的函数值，，我们用表示，中的较小值，即 则称为关于，的“二元最小值函数”．
（1）已知一次函数，请写出关于，的“二元最小值函数”，并写出当为何值时，函数随的增大而增大，求函数最大值；
（2）已知二次函数，，其中，求出两个函数所对应的图像的交点，的坐标，并求出关于，的“二元最小值”，写出当为何值时，函数随的增大而减小；
（3）直线与（2）中关于，的“二元最小值函数”围成的封闭图形内部有四个，均为整数的点，求的取值范围；
（4）若点为（2）中关于，的“二元最小值函数”上任意一点，与，构成讨论满足，时，点的个数．
【答案】（1）当时，函数随的增大而增大，最大值为：．
（2），；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；
（3）
（4）讨论见解析
【解析】
【分析】本题考查函数的知识，解题的关键是掌握函数图象，根据函数图象得到函数性质，学会利用数形结合的方法解集问题．
（1）根据函数解析式，得到函数图象，根据函数图象，进行解答，即可；
（2）根据函数解析式，得到函数图象，求出函数的对称轴，根据函数图象和性质，进行解答，即可；
（3）根据函数图象，得到点，根据函数图象，得当时，；
当时，；即可求到的取值范围；
（4）根据函数图象，分类讨论，时，点的个数，即可．
【小问1详解】
函数图象如下：
联立，
解得：，
∴函数的交点为：；
由图象可知：当时，；当时，，
∴
当时，函数随的增大而增大，最大值为：．
【小问2详解】
函数图象如下：
函数的对称轴：，开口向上；
函数的对称轴：，开口向下；
∴联立，
∴，
整理得：,
解得：，，
∴或，
∴两个函数的交点为：，；
∴，
∴当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
【小问3详解】
由函数图象得，点可取：，，，，
∴当时，；
解得：；
当时，，
解得：，
由可得：．
【小问4详解】
讨论，如下：
过点作交于点，
∵，，
∴，
当时，，
∴直线的解析式为：，
当点在对称轴上时，，，此时，即，点的个数为；
当时，解得：，；
∴当时，，此时，即或，点的个数为；
当时，，此时，即或，点的个数为．
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
59.66
八年级
85.2
91
9176
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
59.66
八年级
85.2
91
91.76