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2024年山东省菏泽市曹县中考二模数学试题 （原卷版+解析版）
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这是一份2024年山东省菏泽市曹县中考二模数学试题 （原卷版+解析版），共33页。
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列几何体中，俯视图是圆，左视图是长方形的几何体是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，那么值为（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 22
6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为( )
A 4B. C. D.
9. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点，是以格点为顶点的三角形的面积，其中，分别表示这个三角形内部与边界上格点的个数，若点，的坐标分别为，，则内部格点的个数为（ ）
A B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
12. 将含的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，C对应的刻度分别为，则线段的长为______．
13. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______．
14. 如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上一点，，将沿翻折得，连接，当_______时是以为腰的等腰三角形．
16. 如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为_______．
三、解答题：本题共8个题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程；
（2）解不等式组：．
18. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
19. 为锻炼学生的意志，某校组织一次定向越野活动，如图，点A为出发点，途中设置两个检查点，分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，行进路线和的夹角，求检查点B和C之间的距离．
20. 某校八年级共有800名学生，为了解八年级学生数学学科的学习情况，从中随机抽取了40名学生的八年级上、下两个学期期末数学成绩进行整理和分析，两次测试试卷均为100分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩条形统计图
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩统计表
八年级学生上学期期末数学成绩在这一组的成绩是：65 65 65 66 66 66 65 65 68 68
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______；
（2）若为优秀，则这800名学生下学期期末数学成绩达到优秀的约有多少人？
（3）你认为该校八年级学生的期末数学成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
21. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，对角线，反比例函数的图象分别与相交于点D，E，点D为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，求m的取值范围．
22. 如图，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23. 如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值．
24. 在正方形中，边上一点．
【问题解决】
（）已知，垂足为点
①如图，求证；
②如图，若，垂足为点，，垂足为点，求证：；
【问题探究】
（）如图，若，垂足为点，点在上，且，连接，，探究与的数量关系，并说明理由．
2024年5月毕业班教学质量检测数学
本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，倒数．先去绝对值，再根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可．
【详解】解：，
∴它的倒数为；
故选D．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方的运算法则可知，再利用单项式除以单项式的运算法则即可解答．本题考查了积的乘方的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，熟记相关运算的法则是解题的关键．
详解】解：
；
故选．
4. 下列几何体中，俯视图是圆，左视图是长方形的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图、左视图、主视图分别是从物体的上面，左面，下面看所得的图形即可解答．本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：俯视图是长方形，左视图是长方形，故项不符合题意；
俯视图是带圆心的圆，左视图是三角形，故项不符合题意；
俯视图是圆，左视图是长方形，故项符合题意；
俯视图是圆，左视图是圆，故项不符合题意；
故选．
5. 已知，，那么的值为（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式变形，根据完全平方公式，再根据已知条件整体代入即可得的值，解题关键是掌握完全平方公式．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定与性质可知，，再根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
由作法得是的角平分线，
∴，
即，
∵在中，，
∴设，
∴，
解得：，
即的度数为，
故选：C．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的作法及定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为( )
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，勾股定理，取的中点，连接，由中位线性质可得，再根据，可得出，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示：取的中点，连接， ，
点是中点，
是的中位线，
，，
，四边形是菱形，
，，
，
，
∴
故选：C．
9. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点，是以格点为顶点的三角形的面积，其中，分别表示这个三角形内部与边界上格点的个数，若点，的坐标分别为，，则内部格点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式先计算出和，即可求出的值．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∵在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点，
∴上有个格点，
上有，，，，，，，，，共个格点，
上有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个格点，
∴边界格点数为，
∵三角形的面积，
∴，
解得：，
∴内部格点的个数为，
故选：．
本题考查了新定义的理解，平面直角坐标系的相关知识点，区分多边形内部的格点数和边界格点数是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
【答案】1.03×10-7
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
12. 将含的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，C对应的刻度分别为，则线段的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
13. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，，
，
正方形的边长为2，
，
阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上一点，，将沿翻折得，连接，当_______时是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【解析】
【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作垂直于于点H，然后根据折叠可得到，再结合，利用互余性质可得到，然后证得，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后再根据数量关系得到．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作垂直于于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：．
本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
16. 如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了含角直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
又，
（等腰三角形的三线合一），
，
则在中，，
即的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题：本题共8个题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握相关解法是解题的关键．
（1）去分母化为整式方程，解整式方程后检验即可得到答案；
（2）求出每个不等式的解集，找出公共部分即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以，得，
解得：，
经检验是方程的根．
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【答案】（1）胜12场，负3场
（2）4个
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找到等量关系列方程和找到不等关系列不等式是解题的关键．
（1）设该班胜场，则负场，根据在15场比赛中获得总积分为39分列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，根据共投中27个球，所得总分不少于58分，列出不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设该班胜场，则负场，根据题意，得
.
解这个方程，得
∴(场)
∴该班胜12场，负3场
【小问2详解】
设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，
根据题意，得
解这个不等式，得
∴该班这场比赛中至少投中了4个3分球
19. 为锻炼学生的意志，某校组织一次定向越野活动，如图，点A为出发点，途中设置两个检查点，分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，行进路线和的夹角，求检查点B和C之间的距离．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为．
，
，
．
，
在中，
，
．
，
在中，
，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
20. 某校八年级共有800名学生，为了解八年级学生数学学科的学习情况，从中随机抽取了40名学生的八年级上、下两个学期期末数学成绩进行整理和分析，两次测试试卷均为100分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩条形统计图
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩统计表
八年级学生上学期期末数学成绩在这一组的成绩是：65 65 65 66 66 66 65 65 68 68
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______；
（2）若为优秀，则这800名学生下学期期末数学成绩达到优秀的约有多少人？
（3）你认为该校八年级学生的期末数学成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
【答案】（1）66 （2）140人
（3）有所提高，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题关键．
（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）根据平均成绩或中位数即可判断．
【小问1详解】
解：把八年级上学期40名学生的期末数学成绩从小到大排列，
排在中间的是第20位和第21位，两个数分别为66，66，
故中位数为，
故答案为：66．
【小问2详解】
(人)
这800名学生下学期期末数学成绩达到优秀的约有140人．
【小问3详解】
有所提高
理由：因为抽取的八年级学生的期末数学成绩平均分和中位数下学期的都比上学期的高：
所以八年级学生下学期期末数学成绩比上学期有所提高．
21. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，对角线，反比例函数的图象分别与相交于点D，E，点D为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，求m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数交点问题；
（1）根据矩形的性质，勾股定理求得，进而根据矩形的性质可得点的坐标为，即可得出反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）分别求得当点与点重合时，的值，结合图形，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
因为四边形是矩形
∴
因为点D为的中点
点的坐标为，
，
反比例函数表达式为
当时，
当的坐标为
【小问2详解】
当点与点重合时，
，
当点与点重合时，
，
的取值范围为
22. 如图，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，得，由，得，根据平行线的判定得，根据平行线的性质得，根据垂线定义得；
（2）根据，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
解：∵，
即
解得：，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）先根据对称轴公式得到，再利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为，根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线
∴，即，
把代入得，
∴，
∴
抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得： ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
24. 在正方形中，是边上一点．
【问题解决】
（）已知，垂足为点
①如图，求证；
②如图，若，垂足为点，，垂足为点，求证：；
【问题探究】
（）如图，若，垂足为点，点在上，且，连接，，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①证明（），由全等三角形的性质得出；
②根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到；
（2）连接，根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）①四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
（），
；
②证明：于点，于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
（），
，，
矩形是正方形，
；
（2）
理由：连接
与都是等腰直角三角形
，，
，
，
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
65
m
八年级下学期
69
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
65
m
八年级下学期
69
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列几何体中，俯视图是圆，左视图是长方形的几何体是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，那么值为（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 22
6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为( )
A 4B. C. D.
9. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点，是以格点为顶点的三角形的面积，其中，分别表示这个三角形内部与边界上格点的个数，若点，的坐标分别为，，则内部格点的个数为（ ）
A B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
12. 将含的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，C对应的刻度分别为，则线段的长为______．
13. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______．
14. 如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上一点，，将沿翻折得，连接，当_______时是以为腰的等腰三角形．
16. 如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为_______．
三、解答题：本题共8个题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程；
（2）解不等式组：．
18. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
19. 为锻炼学生的意志，某校组织一次定向越野活动，如图，点A为出发点，途中设置两个检查点，分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，行进路线和的夹角，求检查点B和C之间的距离．
20. 某校八年级共有800名学生，为了解八年级学生数学学科的学习情况，从中随机抽取了40名学生的八年级上、下两个学期期末数学成绩进行整理和分析，两次测试试卷均为100分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩条形统计图
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩统计表
八年级学生上学期期末数学成绩在这一组的成绩是：65 65 65 66 66 66 65 65 68 68
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______；
（2）若为优秀，则这800名学生下学期期末数学成绩达到优秀的约有多少人？
（3）你认为该校八年级学生的期末数学成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
21. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，对角线，反比例函数的图象分别与相交于点D，E，点D为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，求m的取值范围．
22. 如图，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23. 如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值．
24. 在正方形中，边上一点．
【问题解决】
（）已知，垂足为点
①如图，求证；
②如图，若，垂足为点，，垂足为点，求证：；
【问题探究】
（）如图，若，垂足为点，点在上，且，连接，，探究与的数量关系，并说明理由．
2024年5月毕业班教学质量检测数学
本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，倒数．先去绝对值，再根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可．
【详解】解：，
∴它的倒数为；
故选D．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方的运算法则可知，再利用单项式除以单项式的运算法则即可解答．本题考查了积的乘方的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，熟记相关运算的法则是解题的关键．
详解】解：
；
故选．
4. 下列几何体中，俯视图是圆，左视图是长方形的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图、左视图、主视图分别是从物体的上面，左面，下面看所得的图形即可解答．本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：俯视图是长方形，左视图是长方形，故项不符合题意；
俯视图是带圆心的圆，左视图是三角形，故项不符合题意；
俯视图是圆，左视图是长方形，故项符合题意；
俯视图是圆，左视图是圆，故项不符合题意；
故选．
5. 已知，，那么的值为（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式变形，根据完全平方公式，再根据已知条件整体代入即可得的值，解题关键是掌握完全平方公式．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定与性质可知，，再根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
由作法得是的角平分线，
∴，
即，
∵在中，，
∴设，
∴，
解得：，
即的度数为，
故选：C．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的作法及定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为( )
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，勾股定理，取的中点，连接，由中位线性质可得，再根据，可得出，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示：取的中点，连接， ，
点是中点，
是的中位线，
，，
，四边形是菱形，
，，
，
，
∴
故选：C．
9. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点，是以格点为顶点的三角形的面积，其中，分别表示这个三角形内部与边界上格点的个数，若点，的坐标分别为，，则内部格点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式先计算出和，即可求出的值．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∵在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点，
∴上有个格点，
上有，，，，，，，，，共个格点，
上有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个格点，
∴边界格点数为，
∵三角形的面积，
∴，
解得：，
∴内部格点的个数为，
故选：．
本题考查了新定义的理解，平面直角坐标系的相关知识点，区分多边形内部的格点数和边界格点数是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
【答案】1.03×10-7
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
12. 将含的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，C对应的刻度分别为，则线段的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
13. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，，
，
正方形的边长为2，
，
阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上一点，，将沿翻折得，连接，当_______时是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【解析】
【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作垂直于于点H，然后根据折叠可得到，再结合，利用互余性质可得到，然后证得，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后再根据数量关系得到．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作垂直于于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：．
本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
16. 如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了含角直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
又，
（等腰三角形的三线合一），
，
则在中，，
即的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题：本题共8个题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握相关解法是解题的关键．
（1）去分母化为整式方程，解整式方程后检验即可得到答案；
（2）求出每个不等式的解集，找出公共部分即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以，得，
解得：，
经检验是方程的根．
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【答案】（1）胜12场，负3场
（2）4个
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找到等量关系列方程和找到不等关系列不等式是解题的关键．
（1）设该班胜场，则负场，根据在15场比赛中获得总积分为39分列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，根据共投中27个球，所得总分不少于58分，列出不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设该班胜场，则负场，根据题意，得
.
解这个方程，得
∴(场)
∴该班胜12场，负3场
【小问2详解】
设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，
根据题意，得
解这个不等式，得
∴该班这场比赛中至少投中了4个3分球
19. 为锻炼学生的意志，某校组织一次定向越野活动，如图，点A为出发点，途中设置两个检查点，分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，行进路线和的夹角，求检查点B和C之间的距离．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为．
，
，
．
，
在中，
，
．
，
在中，
，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
20. 某校八年级共有800名学生，为了解八年级学生数学学科的学习情况，从中随机抽取了40名学生的八年级上、下两个学期期末数学成绩进行整理和分析，两次测试试卷均为100分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩条形统计图
八年级学生上、下两个学期期末数学成绩统计表
八年级学生上学期期末数学成绩在这一组的成绩是：65 65 65 66 66 66 65 65 68 68
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______；
（2）若为优秀，则这800名学生下学期期末数学成绩达到优秀的约有多少人？
（3）你认为该校八年级学生的期末数学成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
【答案】（1）66 （2）140人
（3）有所提高，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题关键．
（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）根据平均成绩或中位数即可判断．
【小问1详解】
解：把八年级上学期40名学生的期末数学成绩从小到大排列，
排在中间的是第20位和第21位，两个数分别为66，66，
故中位数为，
故答案为：66．
【小问2详解】
(人)
这800名学生下学期期末数学成绩达到优秀的约有140人．
【小问3详解】
有所提高
理由：因为抽取的八年级学生的期末数学成绩平均分和中位数下学期的都比上学期的高：
所以八年级学生下学期期末数学成绩比上学期有所提高．
21. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，对角线，反比例函数的图象分别与相交于点D，E，点D为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，求m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数交点问题；
（1）根据矩形的性质，勾股定理求得，进而根据矩形的性质可得点的坐标为，即可得出反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）分别求得当点与点重合时，的值，结合图形，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
因为四边形是矩形
∴
因为点D为的中点
点的坐标为，
，
反比例函数表达式为
当时，
当的坐标为
【小问2详解】
当点与点重合时，
，
当点与点重合时，
，
的取值范围为
22. 如图，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，得，由，得，根据平行线的判定得，根据平行线的性质得，根据垂线定义得；
（2）根据，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
解：∵，
即
解得：，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）先根据对称轴公式得到，再利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为，根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线
∴，即，
把代入得，
∴，
∴
抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得： ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
24. 在正方形中，是边上一点．
【问题解决】
（）已知，垂足为点
①如图，求证；
②如图，若，垂足为点，，垂足为点，求证：；
【问题探究】
（）如图，若，垂足为点，点在上，且，连接，，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①证明（），由全等三角形的性质得出；
②根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到；
（2）连接，根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）①四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
（），
；
②证明：于点，于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
（），
，，
矩形是正方形，
；
（2）
理由：连接
与都是等腰直角三角形
，，
，
，
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
65
m
八年级下学期
69
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平均数
众数
中位数
八年级上学期
65
m
八年级下学期
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