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2024年山东省济南市市中区九年级中考二模数学试题 （原卷版+解析版）
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这是一份2024年山东省济南市市中区九年级中考二模数学试题 （原卷版+解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
2. 中国信通院预计未来年内将实现个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的周长为
10. 抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案）
11. 因式分解：=_____．
12. 如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是_______．
13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
15. 甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为_______米．
16. 在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为_______．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
18. 解不等式组，并写出它所有整数解．
19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且．求证：BE＝DF．
20. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；
（2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．
（结果精确到，参考数据，，，，）
21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：，
八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：，．
七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（2）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（3）统计表中的____________；
（4）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
22. 如图，内接于为直径，过点D的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径长为，求的长．
23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球和篮球的单价分别是多少元？
（2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
（1）【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
（2）【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
（3）【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）①请用含m的代数式表示线段的长______；
②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值．
26. 综合探究
（1）如图1，在等边中，点D为边上一动点，交于点E，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．则与的数量关系是______；的度数为______度．
（2）如图2，在中，，点D为边上一动点；交于点E，当时，求的值．
（3）如图3，在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．取的中点F，连接．若，请直接写出线段的长．
九年级学业水平质量检测数学试题
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据三视图的定义解答即可．
【详解】解：根据主视图与左视图为矩形可以判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱．
故选：D．
2. 中国信通院预计未来年内将实现的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：，
故选：C．
3. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板，先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：C．
4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C不符合题意；
D、，，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则计算，再判断即可．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、与不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：A．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．
8. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】画树状图得：
∵共有种等可能的结果，选中甲老师的有种情况，
∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为：．
故选C．
9. 如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的周长为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得．故选项A不符合题意；根据三角函数的定义得到，故选项B符合题意；根据线段垂直平分线的性质得到，得到，求得，故选C不符合题意；根据三角形的周长公式得到的周长为．
【详解】解：根据作图过程可知：平分，
，
，，，
，
，
．
故选项A不符合题意；
，
，
故选项B符合题意；
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
，
，
，
故选C不符合题意；
，
，
的周长，故选项D不符合题意；
故选：B．
10. 抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到时，的最大值，比较后得到取得最小值时，的值为多少．
【详解】解：①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形．
由图象可得：当时，
∴当取的最小值时，最小，即
②当时，对称轴在轴的右侧．
当时，．
当时，
图象的最高点为顶点．
．
或不合题意，舍去．
取得最小值时，的值为．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案）
11. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
12. 如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，已知米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数附近，根据频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为；联系概率的计算方法可知：“泉”字的面积=正方形的面积×米粒落在“泉”字区域的概率；接下来由正方形的边长为结合正方形的面积公式即可得到“泉”字的面积．
【详解】解：由频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为，
所以“泉”字面积约为．
故答案为：160．
13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且，
∴，即，
故答案为：．
本题主要考查了一元二次方程判别式的应用，对宇一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根．
14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15. 甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为_______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数图象，一元一次方程的应用，根据“速度路程时间”求出甲的速度，从而求出乙提速后的速度；设分时乙追上甲，根据“乙追上甲时，二人距地面的高度相等”列方程并求解，进而求出乙距地面的高度．
【详解】解：甲的速度(米/分)，则乙提速后的速度为(米/分)．
设分时乙追上甲．
当乙追上甲时，二人距地面的高度相等，得，解得，
(米)，
∴乙追上甲时，乙距地面高度为米．
故答案文：．
16. 在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
【详解】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和，
∵在菱形中，为中点，为中点，，
∴，
当、、、共线时，也为，
∵为中点、为中点，
∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值为．
故答案为∶．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可．
【详解】解：
．
本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整指数幂、正切等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．
【详解】
由①得：得
由②得：得，
所以不等式组的解集是：，
则不等式组的整数解是：．
19. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且．求证：BE＝DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得，从而证明∠∠，再利用平行线的性质及邻补角定义证明∠∠，最后证明△≌△即可得BE＝DF．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴∠∠，
∵，
∴∠∠，
∵∠°-∠，∠=°-∠，
∴∠∠，
，
∴△≌△，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；
（2）如图3，将（1）中绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．
（结果精确到，参考数据，，，，）
【答案】（1）
（2）不会，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案；
（2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：延长交于点，
，
，，
，
在中，，，
，
，，
投影探头的端点到桌面的距离，
投影探头的端点到桌面的距离约为；
【小问2详解】
解：投影探头不会与桌面发生碰撞，
理由：过点作，交的延长线于点，
由题意得：，
，
，
在中，，
，
，
投影探头的端点到桌面的距离．
投影探头不会与桌面发生碰撞．
21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：，
八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：，．
七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（2）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（3）统计表中的____________；
（4）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）
（2）见解析 （3），
（4）估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体以及条形统计图；
（1）用乘七年级等级人数占被调查人数的比例即可得出答案；
（2）根据各等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；
（3）根据中位数和众数的定义求解即可；
（4）用七、八年级人数分别成绩其优秀人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中组对应扇形的圆心角为360°×=126°，
故答案为：；
【小问2详解】
八年级成绩在组的人数为（人），
补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图，
【小问3详解】
七年级成绩中第、个数据分别为、，
所以其中位数
八年级成绩中出现次，次数最多，
所以其众数，
故答案为：、；
【小问4详解】
（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是1380人．
22. 如图，内接于为的直径，过点D的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径长为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的相似与判定，圆周角定理；
（1）由为的直径，得，再由切线的性质证明，则，而，则；
（2）由的半径长为，得，求得，证明，根据比例式求得．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
【小问2详解】
在中，，
，
，即
解得，．
23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球和篮球的单价分别是多少元？
（2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？
【答案】（1）足球的单价是30元，篮球的单价是90元
（2）最多能购买篮球12个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；
（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据“篮球的单价是足球的单价的倍，购买足球共花费元，购买篮球共花费元，购买足球的数量比购买篮球的数量多个”，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买蓝球个，则购买足球个，根据总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
由题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则（元）；
答：足球的单价是元，篮球的单价是元；
【小问2详解】
角：设可以购买个篮球，则可以购买个足球，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大整数解为．
答：最多能购买篮球个．
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
（1）【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
（2）【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
（3）【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
【答案】（1），，补全该函数的图象见解析
（2）①②③ （3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键．
（1）分别将，代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象；
（2）根据图象的增减性和最值及对称性求解；
（3）仿照函数，作出图象，结合图象可知函数的函数值的取值范围为，进而结合图象即可求解．
【小问1详解】
当时，，当时，，
即：，，
补全该函数的图象如下：
故答案为：，；
【小问2详解】
由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的；
∵，
∴，
∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；
∵，
∴，
∴的最大值为6；
由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的；
故答案为：①②③；
【小问3详解】
类比函数，作出的图象如图所示，
由图象可知，函数的函数值的取值范围为，
结合图象可知，直线与函数有两个交点时，．
25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）①请用含m的代数式表示线段的长______；
②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值．
【答案】（1）抛物线的函数关系式为，B点坐标为
（2）存在．
（3）为等腰三角时，或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由 即可求解；②证明是的角平分线，即可求解；
（3）当时，列出等式，即可求解； 当或时，同理可解.
【小问1详解】
抛物线经过两点，
将代入抛物线得，
，解得
抛物线的函数关系式为，
令，得到
解得（舍），，则B点坐标为；
【小问2详解】
①设直线的解析式为，
由点的坐标得，解得
直线的表达式为：，
设点 则点
则，
而 则
因为，
则 ，
则 ，
故答案为：；
②存．
如图，过点C作，交直线于D，
，
四边形是矩形，
，
，
，
当时，
则，
，
由①知，，
，
化简得，
解得，
点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
．
【小问3详解】
或．
点的坐标分别为，
解析式
则
①当时，如图1，
图1
则，
，
，
由勾股定理得，
，
解得或（舍去），
②当时，如图2，
图2
，
，
由勾股定理得，
即
（，放舍去）
③当时，点Q在的垂直平分线上，
，
∴点B在的垂直平分线上，
∴点Q和点B重合，不符合题意，
这种情况不存在．
综上，为等腰三角时，或．
主要考查了二次函数解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题.
26. 综合探究
（1）如图1，在等边中，点D为边上一动点，交于点E，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．则与的数量关系是______；的度数为______度．
（2）如图2，在中，，点D为边上一动点；交于点E，当时，求的值．
（3）如图3，在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．取的中点F，连接．若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）线段的长为
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
（1）由题意可证是等边三角形，，可得，由旋转性质可得，由全等三角形的判定可证，可得，，即可得出结果；
（2）通过相似三角形的判定和性质证明，可得，通过证明，可得，即可求的值；
（3）过点D作交于点G，延长至 H，使得， 连接．证明是等边三角形，得到；再证明，得到，则，进而得到，证明，得到，则．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵将绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
，
∵，
∴，
，
．
【小问3详解】
解：过点D作交于点G，延长至 H，使得， 连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
又∵等边中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
年级
平均分
中位数
众数
七年级
91.5
a
93
八年级
91.5
93
b
x
0
1
2
3
4
y
…
3
6
a
b
年级
平均分
中位数
众数
七年级
91.5
a
93
八年级
91.5
93
b
x
0
1
2
3
4
y
…
3
6
a
b
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
2. 中国信通院预计未来年内将实现个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的周长为
10. 抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案）
11. 因式分解：=_____．
12. 如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是_______．
13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
15. 甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为_______米．
16. 在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为_______．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
18. 解不等式组，并写出它所有整数解．
19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且．求证：BE＝DF．
20. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；
（2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．
（结果精确到，参考数据，，，，）
21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：，
八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：，．
七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（2）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（3）统计表中的____________；
（4）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
22. 如图，内接于为直径，过点D的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径长为，求的长．
23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球和篮球的单价分别是多少元？
（2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
（1）【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
（2）【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
（3）【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）①请用含m的代数式表示线段的长______；
②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值．
26. 综合探究
（1）如图1，在等边中，点D为边上一动点，交于点E，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．则与的数量关系是______；的度数为______度．
（2）如图2，在中，，点D为边上一动点；交于点E，当时，求的值．
（3）如图3，在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．取的中点F，连接．若，请直接写出线段的长．
九年级学业水平质量检测数学试题
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据三视图的定义解答即可．
【详解】解：根据主视图与左视图为矩形可以判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱．
故选：D．
2. 中国信通院预计未来年内将实现的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：，
故选：C．
3. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板，先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：C．
4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C不符合题意；
D、，，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则计算，再判断即可．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、与不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：A．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．
8. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】画树状图得：
∵共有种等可能的结果，选中甲老师的有种情况，
∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为：．
故选C．
9. 如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的周长为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得．故选项A不符合题意；根据三角函数的定义得到，故选项B符合题意；根据线段垂直平分线的性质得到，得到，求得，故选C不符合题意；根据三角形的周长公式得到的周长为．
【详解】解：根据作图过程可知：平分，
，
，，，
，
，
．
故选项A不符合题意；
，
，
故选项B符合题意；
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
，
，
，
故选C不符合题意；
，
，
的周长，故选项D不符合题意；
故选：B．
10. 抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到时，的最大值，比较后得到取得最小值时，的值为多少．
【详解】解：①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形．
由图象可得：当时，
∴当取的最小值时，最小，即
②当时，对称轴在轴的右侧．
当时，．
当时，
图象的最高点为顶点．
．
或不合题意，舍去．
取得最小值时，的值为．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案）
11. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
12. 如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，已知米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数附近，根据频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为；联系概率的计算方法可知：“泉”字的面积=正方形的面积×米粒落在“泉”字区域的概率；接下来由正方形的边长为结合正方形的面积公式即可得到“泉”字的面积．
【详解】解：由频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为，
所以“泉”字面积约为．
故答案为：160．
13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且，
∴，即，
故答案为：．
本题主要考查了一元二次方程判别式的应用，对宇一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根．
14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15. 甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为_______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数图象，一元一次方程的应用，根据“速度路程时间”求出甲的速度，从而求出乙提速后的速度；设分时乙追上甲，根据“乙追上甲时，二人距地面的高度相等”列方程并求解，进而求出乙距地面的高度．
【详解】解：甲的速度(米/分)，则乙提速后的速度为(米/分)．
设分时乙追上甲．
当乙追上甲时，二人距地面的高度相等，得，解得，
(米)，
∴乙追上甲时，乙距地面高度为米．
故答案文：．
16. 在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
【详解】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和，
∵在菱形中，为中点，为中点，，
∴，
当、、、共线时，也为，
∵为中点、为中点，
∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值为．
故答案为∶．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可．
【详解】解：
．
本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整指数幂、正切等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．
【详解】
由①得：得
由②得：得，
所以不等式组的解集是：，
则不等式组的整数解是：．
19. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且．求证：BE＝DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得，从而证明∠∠，再利用平行线的性质及邻补角定义证明∠∠，最后证明△≌△即可得BE＝DF．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴∠∠，
∵，
∴∠∠，
∵∠°-∠，∠=°-∠，
∴∠∠，
，
∴△≌△，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；
（2）如图3，将（1）中绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．
（结果精确到，参考数据，，，，）
【答案】（1）
（2）不会，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案；
（2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：延长交于点，
，
，，
，
在中，，，
，
，，
投影探头的端点到桌面的距离，
投影探头的端点到桌面的距离约为；
【小问2详解】
解：投影探头不会与桌面发生碰撞，
理由：过点作，交的延长线于点，
由题意得：，
，
，
在中，，
，
，
投影探头的端点到桌面的距离．
投影探头不会与桌面发生碰撞．
21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：，
八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：，．
七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（2）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（3）统计表中的____________；
（4）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）
（2）见解析 （3），
（4）估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体以及条形统计图；
（1）用乘七年级等级人数占被调查人数的比例即可得出答案；
（2）根据各等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；
（3）根据中位数和众数的定义求解即可；
（4）用七、八年级人数分别成绩其优秀人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中组对应扇形的圆心角为360°×=126°，
故答案为：；
【小问2详解】
八年级成绩在组的人数为（人），
补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图，
【小问3详解】
七年级成绩中第、个数据分别为、，
所以其中位数
八年级成绩中出现次，次数最多，
所以其众数，
故答案为：、；
【小问4详解】
（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是1380人．
22. 如图，内接于为的直径，过点D的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径长为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的相似与判定，圆周角定理；
（1）由为的直径，得，再由切线的性质证明，则，而，则；
（2）由的半径长为，得，求得，证明，根据比例式求得．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
【小问2详解】
在中，，
，
，即
解得，．
23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球和篮球的单价分别是多少元？
（2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？
【答案】（1）足球的单价是30元，篮球的单价是90元
（2）最多能购买篮球12个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；
（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据“篮球的单价是足球的单价的倍，购买足球共花费元，购买篮球共花费元，购买足球的数量比购买篮球的数量多个”，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买蓝球个，则购买足球个，根据总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
由题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则（元）；
答：足球的单价是元，篮球的单价是元；
【小问2详解】
角：设可以购买个篮球，则可以购买个足球，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大整数解为．
答：最多能购买篮球个．
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
（1）【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
（2）【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
（3）【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
【答案】（1），，补全该函数的图象见解析
（2）①②③ （3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键．
（1）分别将，代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象；
（2）根据图象的增减性和最值及对称性求解；
（3）仿照函数，作出图象，结合图象可知函数的函数值的取值范围为，进而结合图象即可求解．
【小问1详解】
当时，，当时，，
即：，，
补全该函数的图象如下：
故答案为：，；
【小问2详解】
由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的；
∵，
∴，
∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；
∵，
∴，
∴的最大值为6；
由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的；
故答案为：①②③；
【小问3详解】
类比函数，作出的图象如图所示，
由图象可知，函数的函数值的取值范围为，
结合图象可知，直线与函数有两个交点时，．
25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）①请用含m的代数式表示线段的长______；
②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值．
【答案】（1）抛物线的函数关系式为，B点坐标为
（2）存在．
（3）为等腰三角时，或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由 即可求解；②证明是的角平分线，即可求解；
（3）当时，列出等式，即可求解； 当或时，同理可解.
【小问1详解】
抛物线经过两点，
将代入抛物线得，
，解得
抛物线的函数关系式为，
令，得到
解得（舍），，则B点坐标为；
【小问2详解】
①设直线的解析式为，
由点的坐标得，解得
直线的表达式为：，
设点 则点
则，
而 则
因为，
则 ，
则 ，
故答案为：；
②存．
如图，过点C作，交直线于D，
，
四边形是矩形，
，
，
，
当时，
则，
，
由①知，，
，
化简得，
解得，
点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
．
【小问3详解】
或．
点的坐标分别为，
解析式
则
①当时，如图1，
图1
则，
，
，
由勾股定理得，
，
解得或（舍去），
②当时，如图2，
图2
，
，
由勾股定理得，
即
（，放舍去）
③当时，点Q在的垂直平分线上，
，
∴点B在的垂直平分线上，
∴点Q和点B重合，不符合题意，
这种情况不存在．
综上，为等腰三角时，或．
主要考查了二次函数解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题.
26. 综合探究
（1）如图1，在等边中，点D为边上一动点，交于点E，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．则与的数量关系是______；的度数为______度．
（2）如图2，在中，，点D为边上一动点；交于点E，当时，求的值．
（3）如图3，在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．取的中点F，连接．若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）线段的长为
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
（1）由题意可证是等边三角形，，可得，由旋转性质可得，由全等三角形的判定可证，可得，，即可得出结果；
（2）通过相似三角形的判定和性质证明，可得，通过证明，可得，即可求的值；
（3）过点D作交于点G，延长至 H，使得， 连接．证明是等边三角形，得到；再证明，得到，则，进而得到，证明，得到，则．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵将绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
，
∵，
∴，
，
．
【小问3详解】
解：过点D作交于点G，延长至 H，使得， 连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
又∵等边中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
年级
平均分
中位数
众数
七年级
91.5
a
93
八年级
91.5
93
b
x
0
1
2
3
4
y
…
3
6
a
b
年级
平均分
中位数
众数
七年级
91.5
a
93
八年级
91.5
93
b
x
0
1
2
3
4
y
…
3
6
a
b
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