2024年中考数学模拟卷临考安心卷2（江苏专用）

这是一份2024年中考数学模拟卷临考安心卷2（江苏专用），共29页。试卷主要包含了-14的倒数是，下列运算正确的是，正五边形的外角和为等内容，欢迎下载使用。
1．-14的倒数是（ ）
A．14B．﹣4C．-14D．4
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x3）4＝x7B．x2•x3＝x5C．x4÷x＝x4D．x+x2＝x3
3．给出下列图形；①等边三角形，②平行四边形，③正五角星边形，④正六边形，⑤圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A．①③B．②④C．④⑤D．②④⑤
4．体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
5．正五边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
6．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2B．3：2C．1：3D．3：1
7．“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A．x-y=72(x-8)=y+8 B．x-y=7x-8=2(y+8)C．x-y=72(x-8)=y D．y-x=7x+8=2(y-8)
8．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则DE的长为 （ ）
A．12πB．πC．2πD．3π
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，对角线AC、BD交于点O，且∠AOB＝120°，若AC+BD＝4，则AD+BC的最小值为（ ）
A．16B．4C．9D．2
10．如图，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点M是线段AC上一个动点，连接BM，将线段BA沿直线BM进行翻折，点A落在点N处，连接CN，以CN为斜边在直线CN的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形CND，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是（ ）
A．42πB．22πC．22πD．2π
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置.）
11．因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．函数y=2xx-1的自变量的取值范围是 ．
13．5G第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是 ．
14．一个圆锥的底面直径是80cm，母线长是90cm，则它的侧面积是 cm2．
15．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知tanB=13，∠C＝45°，则左视图的面积是 ．
16．若关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根，则m的值可以是 .（写出一个满足条件的值）
17．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB＝45°，双曲线y=kx过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则OCCB的值是 ．
18．已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），交y轴交于点C（0，4），则a＝ ，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，点M的坐标为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.）
19．（8分）计算：
（1）(π-3)0-4⋅tan60°+(-2)-1；（2）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+5＝2（x﹣2）；（2）解不等式组：2(x-1)＜5x+1x+103＞2x．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．
22．（10分）为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，坚持“五育并举”，培养学生勤俭、奋斗、创新、奉献的劳动精神，某校开设了“劳以启智、动以润心”劳动教育课程．小明对其中的A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程都很感兴趣，若每门课程被选中的可能性相等．
（1）小明从4门课程中随机选择一门学习，恰好选中B烹饪的概率为 ；
（1）小明从4门课程中随机选择两门学习，用画树状图或列表的方法，求他恰好选中B烹任、C陶艺的概率．
23．（10分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．
②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级抽测学生中，80分以上有 人，m值为 ，并补全频数分布直方图；
（2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；
（3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．
24．（10分）如图，已知△ABC（AB＜AC＜BC），
（1）尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边BC上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND⊥AC．（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，∠C＝30°，则△NDC的外接圆与△ABC重叠部分的面积为 .（如需画草图，请使用试题中的图2）
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝6，CFGE=23，点I为△ABC的内心，求GI的长．
26．（10分）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为（10，40），点C的坐标为（24，40），CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求CD所在的反比例函数的解析式；
（2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
27．（10分）【教材呈现】如图，在△ABC中，点D、E分别AB与AC的中点．则DE与BC的关系是DE∥BC，DE=12BC；
【感知】如图1，在矩形ABCD中，点O为AC的中点，点M为AB边上一动点，点N为BC的中点，连结MN、OM、ON．MN∥AC，∠OMN与∠ONM的数量关系是 ．
【应用】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD、CE是Rt△ABC的中线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；
【拓展】如图3，在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接CE，点P在CE上，BE＝EP＝CP＝2，点G是EP的中点，连接AG交BC于点F，若点F为BC的中点，∠FGP＝60°，连接AP，求APBC的值．
28．（10分）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在线段OA上是否存在这样的点B，使得DBBA的值最小，若存在，求出DBBA的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，直线A′B与二次函数的交点的横坐标为 ．
2024年中考数学模拟卷临考安心卷2（江苏专用）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1．-14的倒数是（ ）
A．14B．﹣4C．-14D．4
【解题有方】根据互为倒数的两数之积为1，可得出答案．
【解题有法】解：-14的倒数为﹣4．故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x3）4＝x7B．x2•x3＝x5C．x4÷x＝x4D．x+x2＝x3
【解题有方】利用幂的乘方法则、同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则，逐个计算得结论．
【解题有法】解：∵（x3）4＝x12≠x7，x2•x3＝x5，x4÷x＝x3≠x4，
x+x3≠x4，∴选项B正确．故选：B．
3．给出下列图形；①等边三角形，②平行四边形，③正五角星边形，④正六边形，⑤圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A．①③B．②④C．④⑤D．②④⑤
【解题有方】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解题有法】解：等边三角形，正五角星边形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；正六边形，圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C．
4．体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【解题有方】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；
【解题有法】解：因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的方差．故选：D．
5．正五边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【解题有方】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解题有法】解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．
6．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2B．3：2C．1：3D．3：1
【解题有方】坡度是坡角的正切值．
【解题有法】解：因为tan30°=33，即坡度为1：3．故选：C．
7．“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A．x-y=72(x-8)=y+8 B．x-y=7x-8=2(y+8)C．x-y=72(x-8)=y D．y-x=7x+8=2(y-8)
【解题有方】根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解题有法】解：∵米乐比琪琪多收集了7节废电池，∴x﹣y＝7；
∵若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，
∴2（x﹣8）＝y+8．∴根据题意可列方程组为x-y=72(x-8)=y+8．故选：A．
8．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则DE的长为 （ ）
A．12πB．πC．2πD．3π
【解题有方】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解题有法】解：连接OD、OE，∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，
∴DE的长为：60π×3180=π，故选：B．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，对角线AC、BD交于点O，且∠AOB＝120°，若AC+BD＝4，则AD+BC的最小值为（ ）
A．16B．4C．9D．2
【解题有方】作DE∥AC交BC的延长线于点E，作BF⊥DE于点F，根据平行线的性质求出∠BDF＝∠BOC＝60°，结合题意即可判定四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的性质求出AD＝CE，DE＝AC，则AD+BC＝CE+BC＝BE，设BD＝a，则AC＝DE＝4﹣BD＝4﹣a，根据特殊角的三角函数值求出BF=32a，DF=12a，则EF＝DE﹣DF＝4-32a，根据勾股定理求出BE2＝3（a﹣2）2+4，再根据二次函数的最值求解即可．
【解题有法】解：如图，作DE∥AC交BC的延长线于点E，作BF⊥DE于点F，
∴∠BDF＝∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵AD∥CB，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，∴AD＝CE，DE＝AC，∴AD+BC＝CE+BC＝BE，
设BD＝a，则AC＝DE＝4﹣BD＝4﹣a，在Rt△BDF中，∠BDF＝60°，
∴sin60°=BFBD=32，cs60°=DFBD=12，∴BF=32BD=32a，DF=12BD=12a，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣a-12a＝4-32a，在Rt△BEF中，BF2+EF2＝BE2，
∴BE2=(32a)2+(4-32a)2=3（a﹣2）2+4，
∴当a＝2时，BE2最小为4，此时BE最小为2（负值已舍），
即AD+BC的最小值为2，故选：D．
10．如图，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点M是线段AC上一个动点，连接BM，将线段BA沿直线BM进行翻折，点A落在点N处，连接CN，以CN为斜边在直线CN的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形CND，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是（ ）
A．42πB．22πC．22πD．2π
【解题有方】由BN＝AB＝4，可得N在以B为圆心，2为半径的14圆上运动（从A运动到N′），当C、N、B共线时，CN最小，进而求得CD最小值；连接BC，AD，可证明△BCN∽△ACD，从而得出，故点D在以A为圆心，2为半径的14圆上运动，当点M从点A运动到点C时，点D运动14⊙A，进一步求得结果．
【解题有法】解：如图，连接BC，AD，
∵AB＝AC，∠BCA＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，同理：∠DCN＝45°，
∴∠ACB＝∠DCN，∴∠ACB﹣∠ACN＝∠DCN﹣∠ACN，
∴∠BCN＝∠ACD，∵BCAC=CNCD=2，∴△BCN∽△ACD，
∴ADBN=ACBC=12，∴AD=22BN=2，
∴点D在以A为圆心，2为半径的14圆上运动，
∴当点M从点A运动到点C时，点D运动14⊙A，∴14×2π×2=22π，
∴点D运动的路径长为：22π，故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【解题有方】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解题有法】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
12．函数y=2xx-1的自变量的取值范围是 x≠1 ．
【解题有方】根据分式有意义的条件是分母不为0，解可得自变量x的取值范围．
【解题有法】解：根据题意，有x﹣1≠0，
解可得x≠1；
故自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为x≠1．
13．5G第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是 1.3×106 ．
【解题有方】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解题有法】解：1300000＝1.3×106，
故答案为：1.3×106．
14．一个圆锥的底面直径是80cm，母线长是90cm，则它的侧面积是 3600π cm2．
【解题有方】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解题有法】解：圆锥的底面直径是80cm，则圆锥的底面周长为：80πcm，
所以圆锥的侧面积=12×母线长×底面周长=12×90×80π＝3600πcm2．
15．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知tanB=13，∠C＝45°，则左视图的面积是 2 ．
【解题有方】作AD⊥BC于点D，设AD＝x，根据等腰三角形的性质得CD＝AD＝x，解直角三角形得BD＝3x，所以BC＝4x＝4，即AD＝1，又知三棱柱的高为2，即可求出答案．
【解题有法】解：如图，作AD⊥BC于点D，
设AD＝x，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝x，
∵tanB=13，
∴ADBD=13，
∴BD＝3x，
∴BC＝4x＝4，
∴x＝1，
∴AD＝1，
∴左视图的面积是2×1＝2．
故答案为：2．
16．若关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根，则m的值可以是 0（答案不唯一） .（写出一个满足条件的值）
【解题有方】先根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值即可．
【解题有法】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
即4m+1≥0，
解得m≥-14．
故答案为：0（答案不唯一）．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB＝45°，双曲线y=kx过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则OCCB的值是 5-14 ．
【解题有方】过点C作CE⊥OB，CD⊥AD得△CEO≌△ADC，设线段AD＝a，CD＝b可得点坐标，由点A，点C在反比例函数上即可的a，b的比值，最后通过△ACD∽△BCE求解即可．
【解题有法】解：过点C作CE⊥OB，CD⊥AD如图：
则∠D＝∠OEC，∠ACD＝∠COE
∵∠OAB＝45°，
∴AC＝OC，
∴△CEO≌△ADC，
∴AD＝CE，CD＝OE，
设AD＝a，CD＝b可得：
点A（b﹣a，b+a）、C（b，a），
双曲线y=kx过点A，点C，
∴ab＝k，b2﹣a2＝k，
∴ab＝b2﹣a2，
∴b2a2-ba-1=0，
解得：ba=1+52或ba=1-52（舍去），
∵∠D＝∠ECB，∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ACBC=CDCE=ba，
∴OCBC=ba=11+5=5-14，
故答案为：5-14．
18．已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），交y轴交于点C（0，4），则a＝ -12 ，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，点M的坐标为 （1，3-3）或（1，3+3） ．
【解题有方】依据题意，由抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），交y轴交于点C（0，4），可得a×2×（﹣4）＝4，计算可得a的值；从而可得抛物线为y=-12（x+2）（x﹣4），再令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，故抛物线与x轴正半轴交于点B为（4，0），对称轴是直线x=-2+42=1，再由B（4，0），C（0，4），可得直线BC为y＝﹣x+4，又BC垂直平分MN，故可设点P（a，﹣a+4），又P为MN的中点，可设M为（1，m），则N（2a﹣1，﹣2a+8﹣m），结合MN⊥BC，且直线BC为y＝﹣x+4，故m+a-41-a=1，进而可得m＝5﹣2a，从而N（2a﹣1，3），又N在抛物线y=-12（x+2）（x﹣4）上，可得a=2±32，求出m后即可得解．
【解题有法】解：由题意，∵抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），交y轴交于点C（0，4），
∴a×2×（﹣4）＝4．
∴a=-12．
∴抛物线为y=-12（x+2）（x﹣4）．
令y＝0，
∴0=-12（x+2）（x﹣4）．
∴x＝﹣2或x＝4．
∴抛物线与x轴正半轴交于点B为（4，0），对称轴是直线x=-2+42=1．
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC为y＝﹣x+4．
又BC垂直平分MN，
∴可设MN交BC于点P（a，﹣a+4）．
由题意，P为MN的中点，可设M为（1，m），
∴N（2a﹣1，﹣2a+8﹣m）
∵MN⊥BC，且直线BC为y＝﹣x+4，
∴m+a-41-a=1．
∴m＝5﹣2a．
∴N（2a﹣1，3）．
又N在抛物线y=-12（x+2）（x﹣4）上，
∴3=-12（2a+1）（2a﹣5）．
∴a=2±32．
∴m＝3-3或3+3．
∴M（1，3-3）或（1，3+3）．
故答案为：-12；（1，3-3）或（1，3+3）．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）(π-3)0-4⋅tan60°+(-2)-1；
（2）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2．
【解题有方】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式及完全平方公式分别计算出各数，再合并同类项即可．
【解题有法】解：（1）(π-3)0-4⋅tan60°+(-2)-1
＝1﹣2×3-12
＝1﹣23-12
＝1﹣23；
（2）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2
＝x2﹣9﹣（x2+4﹣4x）
＝x2﹣9﹣x2﹣4+4x
＝4x﹣13．
20．（1）解方程：x2﹣4x+5＝2（x﹣2）；
（2）解不等式组：2(x-1)＜5x+1x+103＞2x．
【解题有方】（1）将原方程整理后利用因式分解法解方程即可；
（2）解各不等式后即可求得不等式组的解集．
【解题有法】解：（1）原方程整理得：x2﹣4x+5＝2x﹣4，
即x2﹣6x+9＝0，
因式分解得：（x﹣3）2＝0，
解得：x1＝x2＝3；
（2）解第一个不等式得：x＞﹣1，
解第二个不等式得：x＜2，
故原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．
【解题有方】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD＝1，即可求解．
【解题有法】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，
∴BC＝2，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，
∴AC＝CD＝，∴BD＝2﹣．
22．（10分）为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，坚持“五育并举”，培养学生勤俭、奋斗、创新、奉献的劳动精神，某校开设了“劳以启智、动以润心”劳动教育课程．小明对其中的A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程都很感兴趣，若每门课程被选中的可能性相等．
（1）小明从4门课程中随机选择一门学习，恰好选中B烹饪的概率为 ；
（1）小明从4门课程中随机选择两门学习，用画树状图或列表的方法，求他恰好选中B烹任、C陶艺的概率．
【解题有方】（1）直接运用概率公式解答即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中项目B和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解题有法】解：（1）解：∵共有A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程，
∴小明恰好选中B烹饪的概率为．故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中项目B和C的结果有2种，
∴恰好选中项目B和C的概率为：．
23．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．
②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级抽测学生中，80分以上有 28 人，m值为 85 ，并补全频数分布直方图；
（2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；
（3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．
【解题有方】（1）根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出60≤x＜70的人数，进而补全频数分布直方图；
（2）根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可；
（3）求出七年级学生成绩超过81.4分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解题有法】解：（1）根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，80分以上有10+14+5﹣1＝28（人），
将七年级抽测的50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为86+842=85，因此中位数是85，即m＝85，
七年级抽测的50名学生的成绩在70≤x＜80的人数为50﹣2﹣6﹣10﹣14﹣5＝13（人），补全频数分布直方图如下：
故答案为：28，85；
（2）七年级学生成绩的中位数是85分，八年级学生成绩的中位数是88分，而七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，
所以七年级学生甲名次靠前；
（3）600×9+14+550=336（人），
答：该校七年级600名中成绩超过平均数81.4分的大约有336人．
24．如图，已知△ABC（AB＜AC＜BC），
（1）尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边BC上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND⊥AC．（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，∠C＝30°，则△NDC的外接圆与△ABC重叠部分的面积为 23π+3 .（如需画草图，请使用试题中的图2）
【解题有方】（1）过点B作BT⊥BC，射线BT交CA的延长线于点E，作∠BEC的角平线EN交BC一点N．过点N作ND⊥AC于点D，点N即为所求；
（2）重叠部分面积是扇形ODN的面积+△DOC的面积．
【解题有法】解：（1）如图，点N即为所求．
（2）由作图可知BN＝DN，
∵∠NDC＝90°，∠C＝30°，
∴CN＝2DN＝2BN，
∴CN=23BC＝4，
∴ON＝OC＝OD＝2，
∴∠ODC＝∠C＝30°，
∴∠NOD＝∠ODC+∠C＝60°，
∴△NDC的外接圆与△ABC重叠部分的面积＝扇形ODN的面积+△ODC的面积=60π×22360+12×2×2×32=23π+3．
故答案为：23π+3．
25．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝6，CFGE=23，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【解题有方】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据平行线的性质得到OG⊥EF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到BG＝IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解题有法】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴BG=CG，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴AFAG=CFGE=23，
∵AG＝6，
∴AF＝4，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴BGFG=AGBG，
∴BG2=6BG，
∴BG＝23（负值舍去），
∴GI的长为23．
26．心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为（10，40），点C的坐标为（24，40），CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求CD所在的反比例函数的解析式；
（2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【解题有方】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别求出注意力指数为38时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不能．
【解题有法】解：（1）由题意，设CD所在反比例函数的解析式为yCD=kx，
∵点C的坐标为（24，40），
∴k＝24×40＝960．
∴yCD=960x（x＞24）．
（2）老师安排不合理．
理由：由题意，设yAB＝mx+n，
∵A（0，20），B（10，40），
∴n=2010m+n=40，
∴m=2n=20，
∴yAB＝2x+20，
令yAB＝2x+20＝38，
∴38＝2x+20，
∴x＝9．
令yCD=960x=38，
∴x≈25.3，
∵25.3﹣9＝16.3＜23，
∴老师安排不合理．
27．【教材呈现】如图，在△ABC中，点D、E分别AB与AC的中点．则DE与BC的关系是DE∥BC，DE=12BC；
【感知】如图1，在矩形ABCD中，点O为AC的中点，点M为AB边上一动点，点N为BC的中点，连结MN、OM、ON．MN∥AC，∠OMN与∠ONM的数量关系是 ∠OMN+∠ONM＝90° ．
【应用】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD、CE是Rt△ABC的中线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；
【拓展】如图3，在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接CE，点P在CE上，BE＝EP＝CP＝2，点G是EP的中点，连接AG交BC于点F，若点F为BC的中点，∠FGP＝60°，连接AP，求APBC的值．
【解题有方】【感知】证明四边形AMNO是平行四边形，从而证得四边形BMON是平行四边形，进一步得到四边形BMON是矩形，则∠MON＝90°，即可得∠OMN+∠ONM＝90°；
【应用】连接DN，并延长DN交AC于点F，先由勾股定理求得AC=42，利用三角形中位线的性质可证得DF＝DC＝2，由勾股定理求得FC=22，从而得AF＝22，由三角形中位线的性质可求得MN=2；
【拓展】连接PF，作BH⊥CE交CE延长线于H，△PGF是等边三角形，利用等边三角形的性质与解直角三角形求得BC＝27，再证明△AEG是等边 三角形，△AEP是直角三角形，求得AP=3，代入即可求解．
【解题有法】解：【感知】∵点O为AC的中点，点N为BC的中点，
∴ON∥AB，ON=12AB，
∴MN∥AC，即MN∥AO，
∴四边形AMNO是平行四边形，
∴ON＝AM，AM=12AB，
∴AM＝BM，
∴ON＝BM，
∴四边形BMON是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴四边形BMON是矩形，
∴∠MON＝90°
∴∠OMN+∠ONM＝90°，
故答案为：∠OMN+∠ONM＝90°；
【应用】如图2，连接DN，并延长DN交AC于点F，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝42，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵AD、CE是Rt△ABC的中线，
∴AE＝BE＝2，BD＝CD＝2，
∵点M、N分别是AD和CE的中点，
∴DN＝2BE＝1，DN∥AB，MN=12AF，
∴∠FDC＝∠ABC＝90°，∠DFC＝∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴DF＝DC＝2，FC＝22，
∴AF＝22，
∴MN=2；
【拓展】连接PF，作BH⊥CE交CE延长线于H，如图3，
∵BE＝EP＝CP＝2，
∴P是CE的中点，CE＝4，
∵若点F为BC的中点，
∴PF∥AB，PF=12BE＝1，
∵点G是EP的中点，PG=12EP＝1，
∴PG＝PF，∵∠FGP＝60°，
∴△PGF是等边三角形，∴∠GPF＝60°，∵PF∥AB，
∴∠BEH＝∠GPF＝60°，
在Rt△BEH中，EH＝2•cs60°＝1，BH＝2•sin60°=3，
在Rt△BCH中，CH＝CE+EH＝5，
由勾股定理得BC=BH2+CH2=(3)2+52=27，
∵∠AEG＝∠BEH＝60°，∠AGE＝∠PGF＝60°，∠AGE＝∠AGE＝∠EAG＝60°，
∴△AEG是等边三角形，∴AE＝AG＝EG＝1，∴AG＝PG＝1，
∴∠PAG＝∠APG∠PAG+∠APG＝∠PGF＝60°，∴∠PAG＝∠APG＝30°，
∴∠PAE＝∠EAG+∠PAG＝90°，∴AP＝PE•cs30°=12×32=3，
∴APBC=327=2114．
28．如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在线段OA上是否存在这样的点B，使得DBBA的值最小，若存在，求出DBBA的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，直线A′B与二次函数的交点的横坐标为 2+2193或2-2193 ．
【解题有方】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）通过证明△OCD∽△A'BD，可得BDAB=DBBA'=CD22，当CD⊥OA时，CD有最小值2，可求BDAB的最小值为22；
（3）过点M作MH⊥AO交于H点，先证明△OCD∽△A'BD，再由S△OCD＝8S△A'BD，求出A'B＝AB＝1，设BD＝t，则CD＝22t，A'D＝22-22t，OD＝22A'D＝8﹣8t，再由OB＝OD+BD＝3，得到方程8﹣8t+t＝3，解得t=57，即A'D=427，再证明△A'BD≌△ABM（ASA），可得AM＝A'D=427，由△AHM是等腰直角三角形，求出M（247，-47），直线BM与抛物线的交点即为所求．
【解题有法】解：（1）将O（0，0），A（4，0）代入y=12x2+bx+c，
∴c=08+4b+c=0，解得b=-2c=0，∴抛物线的解析式y=12x2﹣2x；
（2）∵y=12x2﹣2x=12（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，
∴OC＝AC，∴∠CAB＝∠COD，
∵将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，
∴△ABC≌△A'BC，∴∠CAB＝∠A'，AB＝A'B，
∴∠COD＝∠A'，∵∠ODC＝∠BDA'，
∴△OCD∽△A'BD，
∴BDAB=DBBA'=CDCO，∵CO＝22，∴BDAB=DBBA'=CD22，
当CD⊥OA时，CD有最小值2，
∴CDCO的最小值为22，∴BDAB的最小值为22；
（3）延长A'B交AC于点M，过点M作MH⊥AO交于H点，
∵OC＝CA＝22，AO＝4，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝∠AOC＝45°，
由折叠可知△ABC≌△A'BC，∴∠A'＝45°，
∴△OCD∽△A'BD，∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴OCA'B=22，∴A'B＝AB＝1，设BD＝t，则CD＝22t，
∴A'D＝22-22t，OD＝22A'D＝8﹣8t，
∵OB＝OD+BD＝3，∴8﹣8t+t＝3，解得t=57，∴A'D=427，
∵AB＝A'B，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，
∴△A'BD≌△ABM（ASA），∴AM＝A'D=427，∵△AHM是等腰直角三角形，
∴AH＝MH=47，∴M（247，-47），
直线BM的解析式为y=-43x+4，当-43x+4=12x2﹣2x，解得x=2±2193，
∴直线A'B与二次函数的交点横坐标为2±2193，故答案为：2±2193．
年级
平均数（分）
中位数（分）
七年级
81.4
m
八年级
87.2
88
年级
平均数（分）
中位数（分）
七年级
81.4
m
八年级
87.2
88