博爱县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.B.C.D.
3．已知若方程有四个不同的实数根，，，，则的最小值是( )
A.2B.3C.4D.-3
4．如图是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为( )
A.B.C.D..
5．已知函数的图像与直线的两个相邻交点是A，B，若，则( )
A.1B.1或7C.2D.2或6
6．已知向量，将向量绕原点O逆时针旋转得到向量，将向量绕原点O顺时针旋转得到向量，则下列选项错误的是( )
A.B.
C.D.
7．如图，矩形中，，，与相交于点O，过点A作，垂足为E，则( )
A.B.3C.6D.9
8．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则( )
A.9B.8C.5D.4
二、多项选择题
9．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为，双曲正弦函数为.则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.是奇函数
10．已知为偶函数，（，与中相同），则下列结论正确的是( )
A.
B.若的最小正周期为，则
C.若在区间上单调递减，则的取值范围为
D.若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
11．已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：.若，，，则( )
A.在上的投影向量的模为B.，
C.D.
三、填空题
12．已知函数满足，，且在区间上单调，则的值有个.
13．已知平面向量a，b，c满足，，则的最大值为.
14．已知，，则=___________.
四、解答题
15．已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.
16．某场比赛甲,乙,丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲,丙两个家庭都回答错误的概率是.乙,丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙,丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲,乙,丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
17．已知矩形中，，，E为中点，P为边上的动点（不包括端点）.
（1）求的最小值；
（2）设线段与的交点为G，求的最小值.
18．在平面直角坐标系中，已知向量，.
(1)若，，求的值；
(2)若与的夹角为且，求的值.
19．已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数a的取值范围；
（3）若方程在上的解为，，求.
参考答案
1．答案：B
解析：由正弦定理得：
由余弦定理得：，即
当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
2．答案：C
解析：由，
故选C.
3．答案：B
解析：不妨设，
因为方程的根的个数即为与的交点个数，
由图象可得若方程有四个不同的实数根，则，
又因为，且，
则，可得，
又因为，即，
可得，
所以当时，取到最小值3.
故选B.
4．答案：C
解析：如图，
设小圆的圆心为O，则，
设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为，
则的长为，解得，
所以每个扇环形小拼盘的面积为
.
故选：C
5．答案：D
解析：法一：令，得，
则或，，
解得或，.
因为A，B是函数的图像与直线的两个相邻交点，
由，且，
则，或，
解得或.
法二：令，得，
因为A，B是函数的图像与直线的两个相邻交点，设，，
则或，且，
如图可知，或.
（设的最小正周期为T，也即或）
即或，解得或.
故选：D.
6．答案：A
解析：已知向量，将向量绕原点O逆时针旋转得到向量，则，将向量绕原点O顺时针旋转得到向量，则，
对于A选项，所以，故A错误；
对于B选项，，
，
所以，，，
所以，，故B正确；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，
则，故D正确，
故选A.
7．答案：B
解析：，
.
故选：B.
8．答案：C
解析：，，
，，
.
为锐角三角形，，.而，.
由余弦定理可得，，，
则.
故选：C
9．答案：AC
解析：对于A，，所以A正确，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，因为，，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以是偶函数，所以D错误，
故选：AC
10．答案：ACD
解析：由为偶函数，得，解得：，因为，所以，故A正确；
对于B，由于的最小正周期为，所以，得，故B不正确；
对于C，可得，令，解得，
所以的单调减区间为：，，因为在区间上单调递减，所以，解得：，由于，所以，的取值范围为，故C正确；
对于D，当时，，若在区间上有且仅有3个最值点，则可以取到，，，所以，解得，故D正确.
故选：ACD
11．答案：BC
解析：因为，，
对于A，在上的投影向量的模为，，又，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，因为，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，因为的值为非负数，
的值可能为负数，故D错误.
故选：BC.
12．答案：9
解析：由，知，，，
故，，；
又在区间上单调，
，故，
，即，
，，
，符合条件的的值有9个.
故答案为：9.
13．答案：30
解析：设，，，则，
由，，则，B点在以A为圆心3为半径的圆周上，C点在以A为圆心2为半径的圆周上，如图所示，
，由图可知，当A，B，C三点共线，在如图所示的位置时，
有最大值6，有最大值5，此时取最大值1，所以的最大值为30.
14．答案：-7
解析：，，，
则：，
.
15．答案：（1）单调增区间为，；；
（2）.
解析：（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以.
16．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙,丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，；
（2）有3个家庭回答正确的概率为，
有2个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
17．答案：（1）0；
（2）
解析：（1）设，如图建立直角坐标系：
，，，，
，
当时，有最小值，最小值为0；
（2）由图可得：
则
，，
，
当且仅当即时取等号,
的最小值为.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，且，
所以，，所以，
故；
（2）因为，，
所以，，
，因为与的夹角为，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以，所以.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1），，又的一个对称中心为，，，，，又，
，.
（2）解法一：当时，，“当时，方程有两个不等的实根”，等价于“当时，方程有两个不等的实根”，即“与的图像在内有两个不同的交点”，
如图可知，，
即实数a的取值范围为.
解法二：作，与的图像，如图，可知，
，即实数a的取值范围为.
（3）如图，易知，且，
.