赤峰二中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰二中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数，则( )
A.1B.2C.D.
2．已知直线与曲线相切，则a的值为( )
A.B.C.D.
3．某单位春节共有四天假期，现安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天.已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有( )
A.12种B.14种C.18种D.24种
4．若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．某学校派出4名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每位教师只去一所中学，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A.90种B.60种C.48种D.36种
6．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
7．地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有( )种.
A.84B.72C.48D.24
8．已知，，，则有( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若m，n为正整数且，则( )
A.B.
C.D.
10．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是( )
A.6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B.6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C.6名同学平均分成三组分别到A、B、C三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D.6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
11．已知函数，e是自然对数的底数，则( )
A.若，则
B.
C.的最大值为
D.对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题
12．3名工人各自在4天中选择1天休息，且每天最多只能1个人休息，则共有种不同的休息方法________.
13．设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为________.
14．已知对，不等式恒成立，则实数m的最小值是________.
四、解答题
15．设函数，，曲线在点处的切线与直线平行.
(1)求a的值；
(2)求的单调区间和极值.
16．如图，已知正三棱柱，，D，E分别为棱，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
17．已知为数列的前n项和，满足，且，，，，成等比数列，当时，.
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和.
18．已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点在椭圆E，过点作互相垂直且与x轴不重合的两直线，分别交椭圆E于A，B和点C，D且点M，N分别是弦，的中点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过x轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19．帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数a，b的值；
(2)比较与的大小；
(3)若在上存在极值，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以，
所以，解得
故选：C.
2．答案：B
解析：设切点为，由得，
因为直线与曲线相切，
所以，解得，，所以，
又在直线上，所以，解得.
故选：B.
3．答案：B
解析：分两种情况讨论：①甲在第四天值班，则剩下的有种安排；
②甲不在第四天值班，则甲的安排有两种，乙的安排也有两种，剩下两人有种，共有种；
所以一共有种安排，
故选：B.
4．答案：A
解析：函数的定义域为，，
函数在上恰有2个极值点，
即在上恰有2个变号零点，
令，则，
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
要使得在上恰有2个变号零点，
需与函数的图象在上恰有2个交点，
故，即a得取值范围为，
故选：A
5．答案：D
解析：由题意，先将4人分成3组，3组人数分别为1,1,2，
则从4人中选2人一组，其余两人一人一组，共有种分法，
将3组分配到3所学校，共有种分法，
由分步计数原理可得，共有种不同的分配方法.
故选：D.
6．答案：D
解析：令，则，
所以在R上单调递增.
因为，所以不等式，
可变形得，即，所以，
解得.
故选：D
7．答案：A
解析：将图形区域氛围上下左右，
若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；
若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，
所以共有种，
故选：A
8．答案：C
解析：令，，则.
当时，有，，所以，
所以，在上恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，，
所以，，即，所以.
令，，则在时恒大于零，故为增函数，
所以，，而，所以，
所以，
故选：C
9．答案：AD
解析：对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B：，故B错误；
对C：，
，故，C错误；
对D：
，故D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误；
对于C，6名同学平均分成三组分别到A，B，C三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种，故C正确；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有6种分组方法，再分配到三个活动中，共有种，D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：由题意得，则，
当时，，递增，
当时，，递减，
故，故C正确；
由于，由于当时，递减，故，
即，，即，
因为，
故，，即，
故，故B正确；
因为，即，，
设，，
由于当时，递增，当时，递减，
故，单调减函数，故，
即，由于，不妨设，则，
即，故A错误；
对任意两个正实数，，且，若，
不妨设，即，
设，则，，
则，，则，
而
，
设，令，则，
即,为单调增函数，故，
即成立，故，故D正确，
故选：ABD
12．答案：24
解析：根据题意可知该问题相当于将三人在4天中进行排序，共有种不同的休息方法.
故答案为：24.
13．答案：/
解析：令，由图象如图所示可知.
因为，则，，得，，所以.
令，则，单调递增，
当时，即时，，在上单调递减，
所以，解得，舍去
当时，即时，单调递增，且，在上单调递减，
在上单调递增，所以，解得.
综上可得.
故答案为：
14．答案：/
解析：
令，
则，恒成立.
对求导得，所以在上单调递增.
所以，恒成立.
而
令，则
令，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以.
故，即实数m的最小值是.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)递减区间是，，递增区间是，极小值，极大值0.
解析：（1）由函数，求导得，
依题意，，解得，
此时，
显然点不在直线上，符合题意，所以.
（2）由（1）知，函数的定义域为，，
当或时，，
当时，，
即函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
所以函数的递减区间是，，递增区间是，极小值，极大值0.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）取中点F，由正三棱柱性质得，，，互相垂直，以D为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则，
则，，，，.
证明：，，，，
由，得，
由，得，
因为平面，，所以平面.
（2）
由（1）可知为平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则,故，，
令，得面的一个法向量为，
设二面角的值为，
则，
所以，二面角的正弦值为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1），
，，
两式相减，得，
即.
当时，，，
当时，成等差数列.
（2）由，解得或，
又，，，，成等比数列，
由(1)得，进而，
而，，从而，
，
.
18．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）因为椭圆经过点，
且，与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，
可得，则，所以，解得，，
所以椭圆E的标准分别为.
（2）由（1）得，，所以直线的方程为，
联立方程组，解得或，，所以，
则的中点为且，故以为直径的圆的方程为.
（3）设直线的方程为，且，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，则且，，
所以，
由中点坐标公式得，
将M的坐标中的用代换，可得的中点为，
所以，
所以直线的方程为，
即，则直线过定点.
19．答案：(1)，；
(2)答案见解析；
(3).
解析：（1）由，，有，
可知，，，，
由题意，，，所以，所以，.
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，.
（3）由，
.
由在上存在极值，所以在上存在变号零点.
令，则，.
①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件.
②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件.
③当，即时，令即，.
当时，，为减函数；时，，为增函数，
；
令，，，在时恒成立，
在上单调递增，，恒成立；
，，，则，，
；
，
令
，
令，，
则在是单调递减，，所以，
，
令，则，，.
，即.
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
又由③知，当时，，为减函数，，
所以此时，，在内无零点，
在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为.