广西壮族自治区河池市河池十校联体2023-2024学年高一下学期第一次联考（4月）数学试卷(含答案)

这是一份广西壮族自治区河池市河池十校联体2023-2024学年高一下学期第一次联考（4月）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,,则( )
A.-6B.-1C.2D.-2
2．已知复数z满足，则的虚部为( )
A.1B.-1C.D.i
3．已知,,则( )
A.B.C.D.
4．若，为非零向量，则“”是“，共线”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5．在中，若，则的形状一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形
6．已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若的面积为，则为( )
A.B.C.D.
7．已知的外接圆的圆心为O ，且，，则向量在向量上的投影向量( )
A.B.C.D.
8．已知三点A，B，C共线，，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为( )
A.不存在最小值B.C.4D.
二、多项选择题
9．下面关于空间几何体叙述正确的是( )
A.正四棱柱都是长方体
B.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
C.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.平行于同一直线的两直线平行
10．已知复数z满足，则( )
A.
B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D.是方程的一个解
11．如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，O是AD与BE的交点，则( )
A.
B.对于任意一点P，都有
C.对于任意一点P，都有
D.
三、填空题
12．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形ABCD的面积为____________.
13．某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为nmile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则灯塔C与D处之间的距离是__________nmile.
14．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为__________.
四、解答题
15．已知平面直角坐标系中，向量，.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求B的大小;
（2）若，，求的面积.
17．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
（1）求AM的长度；
（2）求∠MPB的正弦值.
18．的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知.
（1）求A的大小;
（2）若为锐角三角形且，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）解不等式；
（2）讨论函数的零点个数.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以,,
所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：，
故，故虚部为1.
故选：A
3．答案：C
解析：由为减函数可知,,即,
因为,所以,由为增函数知,,即,
因为,所以,
所以.
故选：C.
4．答案：B
解析：依题意，为非零向量，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，则表示与，同向的单位向量相等，所以能推出，共线，所以充分性成立；，共线可能同向共线，也可能反向共线，所以，共线得不出，所以必要性不成立.故选B.
5．答案：D
解析：因为，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形状为等腰或直角三角形，
故选：D.
6．答案：A
解析：由三角形面积公式可得，
即，由，可得，
所以.
故选：A
7．答案：B
解析：如图所示：
因为，所以O为BC的中点，又O为的外接圆的圆心，
所以是以BC为斜边的直角三角形，
又因为，
所以，，
设，则，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B
8．答案：D
解析：设，因为A在线段BC上（不含BC端点），
所以由向量共线定理设，，
所以，
由题意有，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：D.
9．答案：AD
解析：因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故A正确；
以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误;
如图所示几何体，
两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体，不是棱柱，故C错误；
由平行关系的传递性可知，平行于同一直线的两直线平行，故D正确.
故选：AD
10．答案：AD
解析：因为，所以，
则，故A正确；
z在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误；
，故C错误；
由，得，则，故D正确；
故选：AD
11．答案：BCD
解析：由题意，知O为的重心，
因为F是AB的中点，所以，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
由B选项可知，
，所以，故C正确；
因为，
同理，，
三式相加可得，故D正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：由题意，，
由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系，
可得.
故答案为：
13．答案：
解析：在中，，
由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
故答案为：
14．答案：
解析：因为点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，
所以点P绕点A沿逆时针方向旋转后得到点B，
由题设，设，则有，
因为点，点，
所以，因此有，且，
解得，即，而，
于是有，所以点P的坐标为，
故答案为：
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设，由题意知，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或.
（2）由题意，，则，
当与共线时，，
因为与的夹角为锐角，
所以，
解得，且，
所以与的夹角为锐角，实数的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以由，得.
因，所以，即.
（2）由余弦定理知.
因为，，，所以，所以，
故的面积.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为AM是中线，
所以，
所以，
则；
（2）由图象知：为向量，的夹角，，
因为，
所以，
，则，
又，
，
所以，，
因为，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由可得，
所以，
所以，由可得，
即，又，
所以.
（2）由正弦定理：，
，
又，得，；
所以，
故.
即.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）的定义域为R，
因为，所以是奇函数.
因为是增函数，所以是增函数，
由得，即，
所以，解得，
即原不等式的解集为；
（2）由得，
①当，即时，等式成立，
所以为的一个零点.
②当，即时，
即
，
令，则，
因为，所以为偶函数，
当时，令，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
，，
又因为，，
所以当时，方程无解，所以没有零点；
当时，方程的解，此时有2个解，
所以有2个零点；
当时，方程有两个解，不妨设为，，且，
此时有4个解，所以有4个零点；
当时，方程有一个解，且，
此时有2个解，所以有2个零点.
综上所述：当时，有1个零点；当或时，有3个零点；当时，有5个零点.