河北省保定市定州市第二中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市定州市第二中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知函数,则( )
A.-4B.4C.-2D.2
3．设,则“”是“”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4．已知函数,则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是( )
A.B.C.1D.2
5．已知某登山者爬山的路程h（单位：米）与时间t（单位：小时）的函数关系式是,若该登山者在这段时间内的平均速度是360米/小时,则该登山者在时的瞬时速度是( )
A.180米/小时B.240米/小时C.360米/小时D.480米/小时
6．某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测,根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布,且X落在内的零件个数为81860,则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为( )
（附：若随机变量Z服从正态分布,则,,）
A.270B.2275C.2410D.4550
7．已知函数是定义在上的偶函数,其导函数为,当时,,且,则不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
8．甲、乙两人进行了羽毛球比赛,双方约定：先胜2局者获得比赛的胜利．若某局比赛甲先发球,则这局比赛甲获胜的概率是;若某局比赛乙先发球,则这局比赛甲获胜的概率是．已知每局比赛都分出胜负,且各局比赛结果互不影响,若第一局是甲先发球,从第二局开始,每局由上一局的获胜者发球,则这次羽毛球比赛甲获胜的概率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,则下列结论正确的是( )
A.B.展开式中各项的系数最大的是
C.D.
10．设随机变量X概率分布为,则( )
A.B.C.D.
11．历史上著名的“伯努利错排问题”指的是：一个人有封不同的信,投入个对应的不同的信箱,他把每封信都投错了信箱,投错的方法数为．例如：2封信都投错有种方法,3封信都投错有种方法,通过推理可得．假设每个信箱只投入一封信,则下列结论正确的是( )
A.某人投6封信,则恰有3封信投对的概率为
B.某人投6封信,则6封信都投错的概率为
C.某人依次投6封信,则前2封信全部投对的情况下恰有4封信投对的概率为
D.某人投6封信,则至少有3封信投对的概率为
12．若不等式恒成立,其中为自然对数的底数,则的值可能为( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有_________人.
14．已知,则使得命题“若,则”为假命题的一组有序数对可以是_____________．
15．已知多项式展开式中所有项的系数之和为32,则该展开式中的常数项为______.
16．甲、乙等5人计划暑假去A,B,C,D四个景点旅游,若每人只去一个景点,每个景点都有人去,甲不去A景点,且甲、乙不去同一个景点,则不同的旅游方案有__________种.
四、解答题
17．某购物网站为了了解人们网购的频率,从年龄在18～65岁的人群中随机调查了100人,根据调查数据,得到如下列联表：
（1）补充完整题中列联表,并依据小概率值的独立性检验,分析以45岁为分界点对网购的频率是否有差异;
（2）从参与调查的人中随机抽取2人,已知这2人的年龄都在45岁以上,求这2人都经常网购的概率．
参考公式：,其中．
参考数据：
18．某校为了了解学生的课后作业完成情况,随机调查了100名学生,得到他们在某天各自完成课后作业所用时间的数据,按,,,,,,分成7组,得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校学生这天完成课后作业所用时间的中位数;
（2）从参与调查且完成课后作业所用时间在和内的学生中随机抽取3人,设抽取到完成课后作业所用时间在内的人数为X,求X的分布列和期望．
19．某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销,根据试销情况,得到销售单价x（单位：元/个）与每天的销量y（单位：个）的数据如下表：
（1）求该新品种蛋糕的销量关于销售单价x的经验回归方程;
（2）若该新品种蛋糕的生产成本是每个3元,且除生产成本外,每天的固定成本是57元,根据（1）中的经验回归方程,求该蛋糕店这种新品种蛋糕一天利润与销售单价的比值的最大值.
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为,.
20．已知函数．
（1）求的极值;
（2）若函数,讨论的零点个数．
21．2023年2月2日，第27个世界湿地日中国主场宣传活动在杭州西溪国家湿地公园举行，2023年世界湿地日将主题定为“湿地修复”.某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛，比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境知识，再答3道试题，每答错一道题，用时额外加20秒，最终规定用时最少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响.
（1）若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；
（2）请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大.
22．已知函数．
（1）当时,证明：对任意,都有．
（2）设函数的值域为集合A,若,求整数a的值．
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得,则或．
故选：B.
2．答案：A
解析：因为,所以,
所以,故,
所以
所以,
故选：A.
3．答案：C
解析：由,得或;由,得,
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：C.
4．答案：B
解析：因为,所以,则,
故所求切线方程为．设直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
令,得,令,得,则,,
故切线与坐标轴围成的三角形的面积为．
故选：B.
5．答案：B
解析：,,
所以该登山者在这段时间内的平均速度是,
所以,所以,
故在时的瞬时速度米/小时.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意可知,,
则所抽取的零件总数为,
故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为．
故选：B.
7．答案：A
解析：设,则．
当时,,即,则,
故在上单调递增．
因为是偶函数,所以,
所以,则是奇函数,
故在上单调递增．
因为,所以,则．
不等式等价于或
即或解得或．
故选：A.
8．答案：C
解析：这次羽毛球比赛甲获胜的情况有三种：
①甲连续获得2局比赛的胜利,其概率;
②甲第一局和第三局比赛获胜,乙第二局比赛获胜,其概率;
③乙第一局比赛获胜,甲第二局和第三局比赛获胜,其概率．
故所求概率．
故选：C.
9．答案：AC
解析：令,得,则A正确．
展开式的通项为,
则,故B错误．
令,得,
令,得,
则,故C正确,D错误．
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：由题意可得,
则,
故．
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于选项A：由题意可得某人投6封信,则恰有3封信投对的概率为,故A正确;
对于选项B：由题意可得：,,,
则6封信都投错的概率为,故B错误;
对于选项C：记事件A表示“前2封信都投对”,事件表示“恰有4封信投对”,
则,,
所以,故C正确;
对于选项D：投6封信至少有3封信投对的概率为,故D正确．
故选：ACD.
12．答案：ABD
解析：因为,所以,则．
令,则．当时,,单调递减;当时,,单调递增．故,即,
从而,当且仅当时,等号成立．
又,所以,则,所以．
令,则．
当时,,单调递减;
当时,,单调递增．故,
且当时,.
故选：ABD．
13．答案：8
解析：设全集为U，集合A表示喜欢打篮球的学生，集合B表示喜欢打羽毛球的学生，
如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有人.
14．答案：（答案不唯一,a,b满足,且即可）
解析：,,
因为命题“若,则”为假命题,
所以只要满足,,且即可,
所以可以取,,
故答案为：（答案不唯一,a,b满足,且即可）．
15．答案：-68
解析：由题意可得,解得,则
故该展开式中的常数项为.
故答案为:-68.
16．答案：162
解析：先将5人按分成四组,分以下三类讨论：
第一类：甲、乙分别分配到只有一人的小组中去,有种小组分配方式,
先让甲从B,C,D三个景点中选一个,有种选法,再把剩余的三组全排列,有种,因此,共有种.
第二类：甲与某人（非乙）组成一组,另外三人各一组,有种小组分配方式,
先让含甲的小组从B,C,D三个景点中选一个,有种选法,再把剩余的三组全排列,有种,因此,共有种.
第三类：乙与某人（非甲）组成一组,另外三人各一组,有种小组分配方式,
先让甲从B,C,D三个景点中选一个,有种选法,再把剩余的三组全排列,有种,因此,共有种.
因此,共有种.
故答案为：162.
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）由题意可知,题中列联表如下：
零假设为以45岁为分界点对网购的频率没有差异．
根据列联表中的数据,经计算得到．
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为以45岁为分界点对网购的频率有差异,此推断犯错的概率不大于0.05．
（2）记事件A表示“这2人的年龄都在45岁以上”,事件B表示“这2人都经常网购”,
则,,
故所求概率为．
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）因为,
所以该校学生这天完成课后作业所用时间的中位数在内．
设该校学生这天完成课后作业所用时间的中位数为,则,
解得,即该校学生这天完成课后作业所用时间的中位数为．
（2）由频率分布直方图可知完成课后作业所用时间在内的人数为,完成课后作业所用时间在内的人数为,
则X的所有可能取值为0,1,2,3．
,
,
,
．
X的分布列为
故．
19．答案：（1）
（2）32
解析：（1）由题意可知：,,,,
可得,
所以该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程.
（2）由（1）可知：利润与销售单价的比值,,
因为,则,当且仅当,即时,等号成立,
所以当时,取到最大值,
即该蛋糕店这种新品种蛋糕一天利润与销售单价的比值的最大值为32.
20．答案：（1）极大值,极小值
（2）答案见解析
解析：（1）因为,
所以．
由,得或,由,得,
则在和上单调递增,在上单调递减．
故,．
（2）因为,所以的单调性与的单调性一致,
即在和上单调递增,在上单调递减,
则,．
因为当时,,当时,,
所以当,即时,图象与x轴没有交点,即没有零点;
当,即时,的图象与x轴有且仅有1个交点,即有1个零点;
当,即时,的图象与x轴有2个交点,即有2个零点;
当,即时,的图象与x轴有3个交点,即有3个零点;
当,即时,的图象与x轴有2个交点,即有2个零点;
当,即时,的图象与x轴有且仅有1个交点,即有1个零点．
综上,当时,没有零点;
当或时,有1个零点;
当或时,有2个零点;
当时,有3个零点．
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：解：（1）因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，且甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，
所以第三轮答题中乙要比甲多答对2道题以上才能获胜.
若乙答对2道试题，甲答对0道试题，则，
若乙答对3道试题，甲答对0道试题，则，
若乙答对3道试题，甲答对1道试题，则，
所以乙获胜的概率.
（2）由题意设甲在比赛中答错的题的数量为X，乙在比赛中答错的题的数量为Y，
则，，
则，，
则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，
乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒.
因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少30秒，
所以最后甲所用的时间的期望比乙少18秒，所以甲获胜的可能性更大.
22．答案：（1）证明见解析
（2）-2
解析：（1）证明：因为,所以,则．
当时,,从而,则上单调递增;
当时,,从而,则在上单调递增．
综上,在上单调递增．故．
（2）由题意可得．
因为,所以,所以．
设,则,从而在上单调递增,
故,即,即．
设,（）,
当或时,显然成立;
当时,,
令,得,
由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增,
故．
因为,所以,
所以,
则,即．
设,则是偶函数,故,
因为,所以,解得．
因为,所以．
经常网购
不经常网购
合计
45岁以下（含45岁）
50
45岁以上
35
合计
40
单价（元/个）
5
6
7
8
9
销量y/个
100
80
70
50
30
经常网购
不经常网购
合计
45岁以下（含45岁）
25
25
50
45岁以上
15
35
50
合计
40
60
100
X
0
1
2
3
P