河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省沧州市运东四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A.零向量没有方向
B.共线向量一定是相等向量
C.若向量，同向，且，则
D.单位向量的模都相等
2．已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．下列说法中错误的是( )
A.棱台的上,下底面是相似且对应边平行的多边形
B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D.在圆柱的上,下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A.平行B.相交C.直线在平面内D.平行或直线在平面内
5．如图所示,在直角坐标系中,已知,,,,则四边形ABCD的直观图面积为( )
A.B.C.D.
6．已知向量,,则在上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
7．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则是( )
A.正三角形B.一个内角余弦值为的直角三角形
C.底角余弦值为的等腰三角形D.底角正弦值为的等腰三角形
8．如图,在中,,D在边AB上,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,则( )
A.z的虚部为B.z是纯虚数
C.z的模是D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10．在边长为1的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则( )
A.B.
C.D.
11．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则( )
A.的外接圆的面积为B.的周长为
C.是直角三角形D.的内切圆的半径为
三、填空题
12．已知,其中x,y是实数,则______.
13．在中,已知向量与满足,且,则角______.
四、双空题
14．如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高,无人机的航线与塔在同一铅直平面内,无人机飞行的海拔高度为,在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为,塔顶B的俯角为,向山顶方向沿水平线飞行到达D处时,测得塔底A的俯角为,则该座小山的海拔为___________m;古塔的塔高为___________m.
五、解答题
15．已知复数.
（1）当m为何值时,z为纯虚数?
（2）当时,求.
16．已知某几何体的直观图如图所示,其中底面为长为4,宽为3的长方形.
（1）若该几何体的高为2,求该几何体的体积V;
（2）若该几何体的侧棱长均为,求该几何体的侧面积S.
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A;
（2）若的面积为1,求a的最小值.
18．如图,在中,D,E是边BC上的两点,,AE平分,.
（1）若,求的值;
（2）求证:.
19．若A,B,C是平面内不共线的三点,且同时满足以下两个条件:①;②存在异于点A的点G使得:与同向且,则称点A,B,C为可交换点组.已知点A,B,C是可交换点组.
（1）求∠BAC;
（2）若,,,求C的坐标;
（3）记a,b,c中的最小值为,若,,点P满足,求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A：模为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为1，都相等，故D正确.
故选：D
2．答案：D
解析：由,得.故选D.
3．答案：C
解析：易知ABD正确;当以斜边所在直线为旋转轴时,所成几何体不是圆锥,C错误.故选C.
4．答案：D
解析：这条直线在另一个平面内,成立;若这条直线不在另一个平面内,则它们平行.故它们的位置关系为平行或直线在平面内.故选D.
5．答案：D
解析：由题意知,四边形ABCD的面积为,所以直观图的面积为.故选D.
6．答案：C
解析：因为,,所以在上的投影向量的坐标为.故选C.
7．答案：C
解析：因为,所以,由及正弦定理,得.所以,排除AB;该等腰三角形底角的余弦值为.故选C.
8．答案：B
解析：设,则,.在中,由正弦定理,得;在中,由正弦定理,得.又因为,,所以,所以,即.又因为.所以,故.所以.故选B.
9．答案：CD
解析：对于A.由虚部定义知z的虚部为.故A错误;对于B,纯虚数要求实部为0,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,z在复平面内对应的点为,位于第四象限,故D正确.故选CD.
10．答案：ABD
解析：因为,且E,F分别为BC,CD的中点,所以,A正确;易知,.所以,B正确;又,,所以,C错误;,D正确.故选ABD.
11．答案：ABC
解析：在中,,,,由正弦定理得的外接球的半径为,的外接圆的面积为,故A正确;由余弦定理得,,,的周长为,故B正确;,,是直角三角形,故C正确;的内切圆的半径为,故D错误.故选ABC.
12．答案：0
解析：由,得,所以,,解得,.所以.
13．答案：
解析：设角A的平分线交BC于D,因为,故.设,（如图所示),,因为,故四边形AEGF为正方形.所以AG为角A的平分线.故G在AD上.因为,故,故.
综上,为等腰直角三角形,所以.
14．答案：;
解析：由题意知,,,
在中,,由正弦定理得,
即,延长与交于点,则,
在中,
,
所以该座小山的海拔为.在中,易知,
在中,,
所以,
故古塔的塔高为.
15．答案：（1）或
（2）90
解析：（1）由已知得,
若z为纯虚数,则解得或.
（2）当时,,,
所以.
16．答案：（1）8
（2）
解析：（1）几何体的体积.
（2）正侧面及相对侧面底边上的高.
左,右侧面的底边上的高.
故几何体的侧面面积.
17．答案：（1）
（2）2
解析：（1）由,得.
又,所以,
可得,
因为,所以,故.
又,所以.
（2）因为的面积,所以.
由勾股定理及基本不等式可得,即,.
故a的最小值为2.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为AE平分∠BAC,,所以,
因为,,
所以.
在中,,,
.
所以.
（2）证明:因为,,
由,得,
整理得,
因为,,
所以,所以.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为与同向,设,
则,
,
又∠GAB,.因为,所以,所以,
由,得,
又,所以,.
（2）由（1）知,.
所以,
因为,,,
所以,,,
则解得
所以C的坐标为.
（3）设BC的中点为D,则,又,所以,即G为的重心,又是正三角形,点G是的中心,
所以,,,
由对称性,不妨设与的夹角为,,如图所示,
,
由图可知,与,与的夹角分别为,,所以,的值分别为,,
当时,,所以,其取值范围是.
所以的取值范围是.