河北省石家庄市五校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省石家庄市五校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为( )
A.B.C.D.
2．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A.B.C.D.
4．若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为( )
A.B.C.D.
5．若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为( )
A.2B.3C.D.
6．在中，，，，则( )
A.B.1C.D.2
7．设点A，B，C不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为( )
(参考数据：)
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中不正确的是( )
A.正四棱柱一定是正方体
B.圆柱的母线和它的轴不一定平行
C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
10．已知复数，，则下列说法正确的是( )
A.的共轭复数不是B.
C.复数D.复数为纯虚数
11．下列说法正确是( )
A.若与是共线向量，则
B.若，，则与可以作为平面内所有向量的基底
C.已知是圆O的直径，点A是圆O上异于B、C的点，且，则向量在向量上的投影向量为
D.若，是单位向量，且，则
12．已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则下列结论中正确的是( )
A.直线与直线垂直B.直线与平面平行
C.点C与点G到平面的距离相等D.平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题
13．______.
14．已知以O为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______.
15．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.
①若，，，则②若，，，则
③若，，，则④若，，，则
16．如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.
.
四、解答题
17．已知复数，，其中a是实数.
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求.
18．如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D，E是，的中点，.求:
（1）正三棱柱的侧棱长；
（2）正三棱柱的表面积.
19．已知在中，点M是边上靠近点B的四等分点，点N在边上，且，设与相交于点P.记，.
（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：.
20．如图，在长方形中，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知.
（1）求角C；
（2）若，求的取值范围.
22．如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是O.
（1）当O落在何处时，平面平面，并说明理由；
（2）在三棱锥中，若，P为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（3）设T是及其内部的点构成的集合，，，当时，求三棱锥的体积的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由图可知，，
所以z在复平面内所对应的点为，
则.
故选：C.
2．答案：D
解析：根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；
故选：D
3．答案：A
解析：由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，
所以平行四边形的周长是8.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，
故体积为.
故选：A
5．答案：D
解析：复数，，则，
因此
，当且仅当，，即，时取等号，
所以的最大值为.
故选：D
6．答案：B
解析：在中，，，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以.
故选：B
7．答案：C
解析：设与的夹角为，
当时，因为，
可得，
整理得，即，则，
且点A，B，C不共线，所以与的夹角为钝角；
当与的夹角为钝角时，则，
所以，可得，
即；
所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件.
故选：C.
8．答案：C
解析：如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接交AC于F，易知为的中心，点F为边AC的中点.
易得：，则，，
，，
，
，
球O的体积.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，
对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；
对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误.
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：复数，，
对于A，复数的共轭复数，不是，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，是纯虚数，D正确，
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：对A，由题意得，则，解得，故A错误；
对B，因为，则与不共线，则与可以作为平面内所有向量的基底，故B正确；
对C，过点A作，垂足为D，则则向量在向量上的投影向量为，
因为为直径，则,因为，则，显然为锐角，则，
则，
则向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对D，由题意得，故D正确，
故选：BCD.
12．答案：BD
解析：对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，
连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，
则不可能直角，直线与直线不垂直，A错误；
对于B，连接，，，由F，G分别为，的中点，得，
又，则四边形是平行四边形，于是，
而四边形是正方体的对角面，点E为中点，有，
即平面，平面，平面，所以平面，B正确；
对于C，连接交于H，显然H不是的中点，则平面不过的中点，
即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；
对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，，，，等腰梯形的高，
所以等腰梯形面积为，D正确.
故选：BD
13．答案：
解析：，
故答案为：.
14．答案：2
解析：以O为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
设一小格为1单位，则，，，
则，
故答案为：2.
15．答案：②
解析：对于①，在长方体中，平面，平面分别为，
直线，分别为直线m，n，显然有，，，而，①错误；
对于②，因为，，当时，由，得，
当n不在平面内时，则存在过直线n的平面与，都相交，令交线分别为l，，
则有，而，，于是，因此，②正确；
对于③，在长方体中，平面，平面分别为，，
直线，分别为直线m，n，满足，，，而，③错误；
对于④，在长方体中，平面，平面分别为，，
直线，分别为直线m，n，满足，，，而，④错误，
所以正确命题的序号是②.
故答案为：②
16．答案：
解析：因为，，所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为：.
17．答案：（1）1；
（2）-1.
解析：（1）复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是1.
（2）复数，，，则，
因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，，，，
则，，，，，即有，，
所以.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意，，
根据正三棱柱得面，又面，所以，
在中，，
又D是中点，故侧棱长为.
（2）底面积为，侧面积为.
所以棱柱表面积为.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1），由题意得，
所以.
（2）由题意，.
，，.
，
.
20．答案：（1）证明过程见解析；
（2）
解析：（1）在长方体中，,,，平面，
平面，平面，，
又，可得,，平面，
平面.
平面，.
（2）记交于点O，连接，
由（1）得平面，
所以为斜线在平面上的射影，
为与平面所成的角.
在长方体中，,，
在中，，，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
21．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，由，得，
由余弦定理得，又，解得，
所以.
（2）在锐角中，由（1）知，，则，解得，
由正弦定理得，，即，，
因此
，而，有，于是，
所以的取值范围是.
22．答案：（1）O落上，理由见解析；
（2）直线与平面平行，理由见解析；
（3）.
解析：（1）当O落上时，平面平面.
因为，所以平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）直线与平面平行.
证明如下：取的中点E，连结，，.
因为平面，
所以，，
在和中，，，
所以，
所以，
因为E为的中点，
所以，又在矩形中，，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
在中，P，E分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，又在平面中，，
所以平面平面，因为平面，
所以平面.
（3）在矩形中，作交于M，
已知，，由题意知，
在中，作，交于O，
沿将折起成后，
，
又，
所以平面.
因为平面，
所以，又，
在平面中，，
所以平面，
因此，当时，满足题意的O的集合组成的图形为线段，
因为在中，
.
所以，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
因为四面体的体积为，
①当取得最大值时，即O与M重合时，
四面体的体积取得最大值；
②当取得最小值时，即O与N重合时，
四面体的体积取得最小值.