梅河口市第五中学2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)

这是一份梅河口市第五中学2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数X近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数X介于75到115之间的人数为( )
参考数据：若，则，，.
A.13272B.16372C.16800D.19518
2．若复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3．在椭圆C的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．记数列的前n项和为，若，，则( )
A.590B.602C.630D.650
5．波斯诗人奥马尔·海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，P，Q两点在x轴上，以为直径的圆与抛物线C：交于点R，.已知是方程的一个解，则点P的坐标为( )
A.B.C.D.
6．已知数列满足，，若，则( )
A.512B.678C.1010D.1022
7．已知函数，若关于x的方程在上恰有一个实数根m，则( )
A.-2B.C.D.2
8．已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，，则( )
A.B.1C.－1D.
二、多项选择题
9．设U为全集，集合A、B、C满足条件，那么下列各式中不一定成立的是()
A.B.
C.D.
10．在中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，的面积为S，其中，，下列选项正确的是()
A.若，则B.S的最大值为
C.D.角A的最小值为
11．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如(1，2，4，5，7，8与9互质)，则()
A.若n为质数，则B.数列单调递增
C.数列的最大值为1D.数列为等比数列
12．如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是( )
A.直线AB与CD为异面直线
B.
C.三棱锥的体积为
D.三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
13．______.
14．若圆柱的高和底面半径之比，且圆柱的体积，则______.
15．已知数列满足，，若，则数列的前n项和______.
16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点（点A在x轴的上方），则______.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程;
（2）若，求函数在上的最值.
18．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间;现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
（1）在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;
（2）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
19．已知平面上一动点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，记动点P的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知直线与曲线交于M，N两点，T是线段MN的中点，点A在直线上，且AT垂直于x轴.设点B在抛物线上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点.若，且A，B位于y轴两侧，求的值.
20．定义1：若数列满足①，②，，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
（1）若，求的前n项和；
（2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断p是q的什么条件；
（3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
21．已知椭圆的离心率为，且过点.若斜率为的直线与椭圆E相切于点T，过直线上异于点T的一点P，作斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，定义为点P处的切割比，记为.
（1）求E的方程；
（2）证明：与点P的坐标无关；
（3）若，且（O为坐标原点），则当时，求直线的方程.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：D
解析：
3．答案：C
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：A
解析：若关于x的方程在上恰有一个实数根m，则，即在上恰有一个实数根m，因为π恰为的最小正周期，且当时，，所以，因为，所以，此时，，解得，所以.
8．答案：A
解析：
9．答案：ABC
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：ABD
解析：
13．答案：
解析：.
14．答案：3
解析：，，得.
15．答案：
解析：由，得数列为等差数列，由，得，所以，得，所以，.
16．答案：
解析：设，，由可得直线AB的方程为，联立方程后整理为，解得，，且有.由抛物线的定义，有.
17．答案：（1）
（2）最大值为，最小值为
解析：（1）依题意，，故，
而，故切点为，
则所求切线方程为.
（2）由（1）可知，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
而，，，
故所求最大值为，最小值为.
18．答案：（1）不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联
（2）分布列见解析，3
解析：（1）零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联.
（2）依题意，，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：
则.
19．答案：（1）
（2）1
解析：（1）因为点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，
所以点P到定点的距离与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，联立消去y得，，
则，，
所以，，
所以，则.
因为，所以直线AB的方程为，即，
联立消去y得，解得或，
又A，B位于y轴两侧，故.
设点在抛物线上，又由，得，
则在点处的切线方程为，
整理得，设，，则在与处的切线方程分别为与，
又两条切线都过点B，则，，
则直线PQ的方程为，
即，又，点T的坐标适合方程，所以点T在直线PQ上.
由T是线段MN的中点，得，
而，
则.
联立消去y得，，
则，，
.
所以.
20．答案：（1）
（2）p是q的充要条件.
（3）的最大值为，
解析：
21．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）或
解析：（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意知，，
所以，解得.
又椭圆E过点，所以，结合，解得，，
所以E的方程为.
（2）设点，直线的方程为，
由消去y，得（*），
，
由直线与椭圆E相切，得.
设切点，
则，，
所以.
设，，由（*）式同理可得
，，
所以
，
易知，点在椭圆E外，所以，所以，
.
结合与的表达式知，要想与点P的坐标无关，需要从的表达式中分离出，
由，得，
即.
因为
.
所以，
所以.
所以，与点P的坐标无关.
（3）由（2）得，，
所以，
因为，所以①.
又，所以②，由①②解得或（舍去）.
所以直线OT的方程为，
由解得或
故切点T的坐标为或.
所以直线的方程为或.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）的定义域为，.
所以当时，，在上单调递增；
当时，，得，
即当时，，所以的单调递增区间为，
当时，，的单调递减区间为.
（2）证明：要证，即证，也即.
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的最小值为.
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以的最大值为，
因为，所以，即，
所以.
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
X
0
1
2
3
4
P