山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试卷(含答案)

这是一份山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则集合M与集合P的关系是( )
A.B.C.D.
2．已知是实系数方程的一个复数根，则( )
A.B.C.1D.9
3．已知，，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为( )
A.B.C.D.
5．已知非零向量，满足，且与上的投影向量为，则( )
A.B.C.2D.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上有一点A，与双曲线的左支交于点B，线段的中点为M，且满足，若，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.C.D.
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为.若，，则b的值可以是( )
A.2019B.2020C.2021D.2022
8．已知正方体的棱长为2，P为线段的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆，，，若圆C上仅存在一点P使，则正实数a的取值可以是( )
A.2B.3C.4D.5
10．在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则( )
A.B.
C.D.若，则B与C互斥
11．已知定义在上的函数满足，则( )
A.是奇函数B.在上单调递减
C.是偶函数D.在在上单调递增
三、填空题
12．已知，则______.
13．已知数列的前n项和为，且，则数列的前100项和______.
14．已知函数恰有3个零点，则m的取值范围是______.
四、解答题
15．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，.
（1）若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
（2）求的值.
16．全国“村”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下列联表：
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时、打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）
附：，.
17．在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点M是线段的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．设函数.
（1）当时，恒成立，求k的最大值；
（2）证明：对任意正整数n，不等式.
19．已知圆，，.点M在圆O上，延长到A，使，点P在线段上，满足.
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设Q点在直线上运动，，.直线与轨迹E分别交于G，H两点，求证：所在直线恒过定点。
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：A
解析：
4．答案：D
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：BD
解析：
10．答案：BCD
解析：
11．答案：AB
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：或
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，，
为等腰直角三角形，，
则.
在中，由余弦定理得
，
故.
故A，C两点间距离为.
（2）设，则由题意可知，，.
在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，
即，
又，，
，
，.
16．答案：（1）球队的胜负与甲球员是否上场有关
（2）（i）；（ii）0.55
解析：（1）根据题意，可得的列联表：
零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关
此时
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.
（2）由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为、、，
相应球队赢球的概率分别为、、.
（i）设事件A：甲球员上场打前锋，事件B：甲球员上场打中锋，事件C：甲球员上场打后卫，事件D：球队赢球，
则，，.
，，.
当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：
.
（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率为：
故当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，
甲球员打中锋的概率约为0.55.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设与交点为N，连接，.
四边形是菱形，
，，N是的中点.
在中，，，
是等边三角形，.
在中，，N是的中点，.
又，，，平面，
平面.
（2）连接，
是等边三角形，M是线段的中点，.
又平面平面，平面平面，平面，
平面.
以M为原点，、所在直线分别为x轴、y轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
于是，，
，，
，
设平面的法向量为，则，
即，
令，得，，
平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角大小为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由已知得，，设，
则，，总成立，
在上递增，，
当即时，可知总成立，在上递增，
总成立，故满足题意.
当时，，，
在上递增，存在使得，
由得，由得，在上递减，
此时，，显然与题意矛盾，不合题意.
综上，为所求.
（2）由（1）可得当，且时，恒成立.
，
当且仅当时等号成立，令，
则，
.
故.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1），
，，
，为的中点，
又O为的中点，，，
则，
点P的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，而，
点P的轨迹E的方程为.
（2）由（1）得，是椭圆E的左右顶点，
设，，，
由Q，G，三点共线，得，而，，
，，
由Q，H，三点共线，得，而，，
，，
，即，
设的方程为，
联立，得，
则，
，，
，
由，
得，
即，
，
恒成立，，
所在直线恒过定点.
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
5
45
未上场
2
3
5
合计
42
8
50