长春汽车经济技术开发区第三中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份长春汽车经济技术开发区第三中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若（i是虚数单位），则( )
A.2B.3C.D.
2．已知向量，，若，则m的值为( )
A.－1B.1C.D.
3．某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为( )
A.21B.19C.16D.18
4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则直线
C.若，，则
D.若，，则
5．某班有男生20名，女生30名.一次数学考试（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92，女生数学成绩平均分为97，则该班数学成绩平均分为( )
A.94B.94.5C.95D.95.5
6．用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为( )
A.1B.2C.3D.
7．已知向量，，且在上的投影为，则( )
A.B.C.D.
8．白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，下图是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，如图所示是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.复数的虚部为-i
C.若，则复平面内对应的点位于第二象限
D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：
则下列结论正确的为( )
A.平均数为48B.极差为9
C.中位数为47D.第75百分位数为51
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有( )
A.若，则
B.若，则
C.若，，，则有两组解
D.若，则是钝角三角形
12．如图，在棱长为1的正方体中( )
A.与的夹角为
B.二面角的平面角的正切值为
C.与平面所成角的正切值
D.点D到平面的距离为
三、填空题
13．已知向量，满足，，，则_________.
14．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点Q的坐标为______.
15．在中，，，，点O为外接圆的圆心，则________.
16．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中h，L，M，N分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球O的表面积为，若用距离球心O都为的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为________.
四、解答题
17．已知向量，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小.
18．在一次校园诗朗诵比赛中，由10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组为选手打分.已知某参赛选手的得分如下：
（1）分别计算该选手在A组和B组得分的平均数；
（2）选择一个可以度量打分一致性的量，并对每组评委的打分计算该度量值，根据这个值判断A组与B组哪个是专业评委组，哪个是观众代表组？
19．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）若，且，求的面积；
（2）求的最大值.
20．为丰富学生的学习生活，某高中开设了“校本课程”.为了解学生对“校本课程”工作的认可程度，学校随机调查了600名学生.根据这600名学生对“校本课程”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中x的值和第60百分位数；
（2）为了解部分学生给“校本课程”工作评分较低的原因，学校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
（3）若学生认可系数不低于0.85，“校本课程”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.根据你所学的统计知识.结合认可系数，判断“校本课程”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
21．今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期.某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在，，的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了保证游客能及时就餐，设定就餐区域中.
（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带总长为多少米？
（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？
22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点M在棱上，点N为中点.
（1）证明：若，直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是否存在点M，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以.
故选：C
2．答案：D
解析：因为，
所以，
解得：.
故选：D
3．答案：A
解析：高三年级应该抽取的人数为.
故选：A.
4．答案：C
解析：对于A，由面面平行的判定定理可知，不一定平行于，故A错；
对于B，根据面面平行的性质定理可知，m不一定平行于n，它们可以异面，故B错；
对于C，由线面垂直的性质定理可知，，故C正确；
对于D，根据面面垂直的判定定理知，m不一定垂直于，它可以与平行、相交、在平面内，故D错.
故选：C.
5．答案：C
解析：设该班数学成绩平均分为，
根据平均数定义得分，
故选：C.
6．答案：C
解析：由直观图还原得到原图形如下，

由斜二测画法可得，，，
所以，
故选：C.
7．答案：B
解析：因为，，
所以在上的投影为，可得，
则，
故选：B.
8．答案：D
解析：由题可知圆柱部分的底面半径，高为，
所以圆柱的体积为，
圆台部分上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以圆台部分的体积为，
则该组合体的体积为.
故选：D.
9．答案：AD
解析：A选项，，故A选项正确.
B选项，z的虚部为-1，故B选项错误.
C选项，，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.
D选项，表示z到和两点的距离相等，故z的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.
故选：AD
10．答案：BC
解析：对于A项，平均数为，故A项错误；
对于B项，极差为，故B项正确；
对于C项，这组数从小到大排序为：43、45、45、46、47、47、48、49、51、52，
所以中位数为47.故C项正确；
对于D项，因为，所以第75百分位数为49.
故选：BC.
11．答案：BD
解析：对于选项A：若，由正弦定理可得，
因为，则，可得，即，
又因为，则或，故A错误；
对于选项B：若，则，
因为，，则，即，
可得，即，故B正确；
对于选项C：由余弦定理可得，
即，即，
解得（舍去）或，
所以有且仅有一组解，故C错误；
对于选项D：若，有正弦定理可得，
可得，且，
所以C为钝角，则是钝角三角形，故D正确；
故选：BD.
12．答案：BCD
解析：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，，，故C正确；
因为，设点D到平面的距离为d，则
，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：-1
解析：因为，所以，
即，解得.
故答案：-1
14．答案：
解析：点关于平面的对称点Q的坐标为.
故答案为：
15．答案：14
解析：因为在中，，，，点O为外接圆的圆心，所以点O为边的中点，由平面向量的线性运算得，，
所以.
故答案为：14.
16．答案：
解析：如图所示，
设上下截面小圆的圆心分别为E，F，上底面截面小圆上一点A，连接，
因为球O的表面积为，解得，所以，
又因为且，
所以截面小圆半径,
根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为：
.
故答案为：.
17．答案：（I）；
（II）.
解析：（I）因为，，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（II）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
18．答案：（1）该选手在A组和B组得分的平均数均为8；
（2）选择方差作度量值，A组为专业组，B组为观众组.
解析：（1）小组A的打分中，选手得分的均值，
小组B的打分中，选手得分的均值.
（2）由（1）知，该选手在A组和B组得分的平均数相同，于是选择方差度量打分一致性，
A组数据的方差，
B组数据方差，
由以上数据知，B组的打分方差较大，数据波动较大，所以A组为专业组，B组为观众组.
19．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
20．答案：（1），85；
（2）10；
（3）“校本课程”工作需要进一步整改，理由略
解析：（1）由图可知：，
解得.
因为内的频率为，
内的频率为，
所以第百分位数位于区间内，设为m，
所以，解得，所以第百分位数为85.
（2）低于分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：（人）；
（3）由图可知，认可程度平均分为：
，
所以“校本课程”工作需要进一步整改.
21．答案：（1）米
（2）平方米
解析：（1）因为为等腰角形，且顶角为，所以，
在中，由，，则，
由正弦定理，即，
，同理，在中，，
则，由正弦定理可得，，
，所以灯带总长为米.
（2）设，则，
由正弦定理可，，
，
，，
当即时，，
面积最小为，
所以就餐区域面积最小值为平方米.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，或
解析：（1）如图所示，在线段上取一点Q，使，连接，，
，
，
又，，
，四边形为平行四边形，
，
又，，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）如图所示，以点A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又N是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3）存在，或
假设存点M，设，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
则，，
则，
，
解得或，
故存在点M，此时或
评委小组
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A组
7.3
7.5
7.8
7.8
8.0
8.0
8.2
8.3
8.5
8.6
B组
6.8
7.5
7.6
7.8
78
8.0
80
8.5
9.0
90