长沙市长郡中学2024届高三下学期模拟（二）数学试卷(含答案)

这是一份长沙市长郡中学2024届高三下学期模拟（二）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．在的展开式中，的系数为( )
A.B.5C.D.10
3．设，i为虚数单位，则( )
A.B.C.D.0
4．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则( )
A.B.C.D.
5．已知，，则( )
A.B.C.D.
6．如图，在中，E是AC的中点，F是线段BC上的一点，且，若，其中m，，则的值为( )
A.1B.C.D.
7．已知数列为等差数列，为等比数列，，则( )
A.B.C.D.
8．设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为P，若点P在直线上，且，则的值为( )
A.2B.3C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为17
B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
10．已知定义在R上的偶函数，其最小正周期为4，当时，，则( )
A.B.的值域为
C.在上单调递减D.在上有8个零点
11．在三棱锥中，平面平面，，则( )
A.三棱锥的体积为1
B.点C到直线AD的距离为
C.二面角的正切值为2
D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为
三、填空题
12．过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则C的离心率为__________.
13．函数的最小正周期为__________.
14．已知三位正整数n满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则n的最大值是__________.
四、解答题
15．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值.
17．已知椭圆E中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E的左焦点F作斜率存在的两直线AB、CD分别交椭圆于A、B，C、D，且，线段AB、CD的中点分别为M、N.求四边形面积的最小值.
18．某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第个箱子中有k个数学题，个物理题，每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束.若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.
（1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q.
①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；
②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p、q的值.
（2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.
19．集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A和B，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.
（1）已知集合，，，若，求x的值；
（2）记集合，，，为中所有元素之和，，求证：；
（3）若A与B都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合A与B中的元素是两个公差相等的等关数列.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，
把0，1，2，3，4代入检验，可得0，4成立，
故.
2．答案：C
解析：
3．答案：A
解析：，故.
4．答案：D
解析：圆锥的表面积为，球的表面积为，
故，即，
（负舍）.
故选D.
5．答案：A
解析：，，
两边平方，可得，
①+②，可得，
，解得.
故选A.
6．答案：C
解析：在平行四边形中，，，
因为E是AC中点，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
.
故选C.
7．答案：A
解析：因为数列为等差数列，所以，
因为为等比数列，所以，
而，所以，故A对，C错；
因为，而，可同为正数也可同为负数，
当，时，，当，时，，
所以，.大小不确定，故BD错误.故选A.
8．答案：A
解析：
9．答案：BCD
解析：对A：若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，，，，的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C：根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，，故c，k的值分别是和2，故D正确.故选BCD.
10．答案：AB
解析：对于A，，所以A正确；
对于B，当时，单调递增，
所以当时，的值域为，
由于函数是偶函数，在上的值域也为，
又是周期为4的周期函数，所以的值域为，所以B正确；
对于C，当时，单调递增，
又的周期是4，所以在上单调递增，所以C错误；
对于D，令，得，所以，
由于的周期为4，所以，，
所以在上有6个零点，所以D错误，故选AB.
11．答案：ACD
解析：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.因为，所以，故A正确；
取AD的中点E，连接BE，取AE的中点F，连接FG，CF，
因为F，G分别为AE，AB中点，则，所以.因为平西，平面，所以，又，，平面，所以平面，则，则点C到直线AD的距离为，为二面角的平面角，，B错误，C正确；
设，的外心分别为M，K，则，又平面平面，所以平面.设三棱锥外接球的球心为O，则平面，平面，所以四边形为矩形，则.故三棱锥外接球的球心到平面的距离为，D正确.故选ACD.
12．答案：
解析：椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，
则，即，可知其焦点在y轴上，
则C的离心率为.
故答案为.
13．答案：
解析：
14．答案：959
解析：设连续的三项的二项式系数为，，，，
由得，
解得①，因为n为正整数，所以应为奇完全平方数，
设，可得，代入①，
解得或，所以三位整数n的最大值为959.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知各点坐标如下：
，，，，，，
因此，，.
由得，
由得.
又，所以平面.
(2)设直线与平面所成的角为.
由(1)可知，，，
设平面的法向量，
由即可取，
所以.
因此，直线与平面所成角的正弦值是.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即.
（2），
今，解得或，
当，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意设椭圆E的标准方程为，，
由已知得，，即，由可得，，
联立解得，，，故椭圆E的标准方程为.
（2）设直线AB、CD的斜率分别为k，，且A、B、C、D的坐标分别为，，，，设四边形面积为S，又，则直线AB为：，直线CD为：.
联立得，
知，是该方程两根，所以，
则.
同理.
所以，
则.
（当时取等）
所以四边形面积的最小值为.
18．答案：（1）①；②，
（2）
解析：（1）①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A，则.
②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为，
今，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
即当时，.
学生甲在n轮活动中获得奖品的个数，由，知.
故理论上至少要进行27轮游戏，此时，.
（2）设选出的是第k个箱子，连续三次取出题目的方法数为.
设数学题为M，物理题为W，第三次取出的是物理题W有如下四种情形：
取法数为，
取法数为，
取法数为，
取法数为，
，
则在第k个箱子中第三次取出的是物理题的概率为.
而选到第k个箱子的概率为，
故所求的概率为.
19．答案：（1）4
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）由题：，
所以，，且，2，6，
从而，，，故.
（2）若，，，，使，其中，，，，
则，故，.
，
，
.
（3）设集合，，其中，.
则，
这里共个不同元素，又，所以上面为合集中的所有元素.
又，这里共个不同元素，也为合集中的所有元素，所以有，即.
一般地，由，，
可得，即.
同理可得，得证.