人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式导学案及答案，文件包含532《诱导公式五六》导学案教师版docx、532《诱导公式五六》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出三角函数的诱导公式（重点）
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习三角函数的诱导公式五、六
三．课堂导学

我们容易计算像0、π6、π2这样的角的三角函数值,对于求π2-α与π2＋α的三角函数值,能否化为α的三角函数值计算?
问题 (1)π2-α与α的终边有什么关系?
(2)如何求π2＋α的三角函数值?
知识点 诱导公式五、六
提醒 公式五、六的记忆方法与口诀:①记忆方法:π2±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
1.下列与sin θ的值相等的是( )
A.sin(π＋θ) B.sinπ2-θ C.csπ2-θ D.csπ2＋θ
解析:C sin(π＋θ)＝-sin θ;sinπ2-θ＝cs θ;csπ2-θ＝sin θ;csπ2＋θ＝-sin θ.
2.已知sinα＋π2＝13,α∈-π2,0,则sin α＝( )
A.-225 B.225 C.-223 D.223
解析:C sinα＋π2＝sinπ2＋α＝cs α＝13.又α∈-π2,0,所以sin α＝-1-cs2α＝-223.
3.sin 95°＋cs 175°＝ .
解析:sin 95°＋cs 175°＝sin(90°＋5°)＋cs(180°-5°)＝cs 5°-cs 5°＝0.
答案:0
四．典例分析、举一反三
题型一利用诱导公式化简
【例1】 化简:(1)sinπ2＋αcsπ2-αcs(π＋α)＋sin(π-α)csπ2＋αsin(π＋α);
(2)sin(-α-5π)csα-π2-sin3π2＋αcs(α-2π).
解 (1)原式＝csαsinα-csα＋sinα(-sinα)-sinα＝-sin α＋sin α＝0.
(2)原式＝sin(-α-π)cs-π2-α-sin［π＋（π2＋α）］cs[-(2π-α)]
＝sin[-(α＋π)]csπ2-α＋sinπ2＋αcs(2π-α)
＝-sin(α＋π)sin α＋cs αcs α
＝sin2α＋cs2α
＝1.
练1-1. 化简:sin(4π-α)cs9π2＋αsin11π2＋αcs(2π-α).
解:∵sin(4π-α)＝sin(-α)＝-sin α,
cs9π2＋α＝cs4π＋π2＋α＝csπ2＋α＝-sin α,
sin11π2＋α＝sin6π-π2-α＝-sinπ2-α＝-cs α.
∴原式＝sinαsinα-csαcsα＝-sin2αcs2α＝-tan2α.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】(1)已知tan α＝3,求sin(α-π)+cs(π-α)sinπ2-α+csπ2＋α的值;
(2)已知sinπ3-α＝12,求csπ6＋α·sin2π3＋α的值.
解 (1)sin(α-π)+cs(π-α)sinπ2-α+csπ2＋α
＝-sinα-csαcsα-sinα＝-tanα-11-tanα
＝-3-11-3＝2.
(2)csπ6＋α·sin2π3＋α
＝csπ2-π3-α·sinπ-π3-α
＝sinπ3-α·sinπ3-α＝12×12＝14.
练2-1. 1.已知sin(π＋α)＝12,则csα-3π2＝( )
A.12 B.-12 C.32 D.-22
解析:A 由sin(π＋α)＝12得sin α＝-12,所以csα-3π2＝cs3π2-α＝-sin α＝12,故选A.
2.已知sinα-π4＝13,则csπ4＋α＝( )
A.223 B.-223 C.13 D.-13
解析:D ∵π4＋α-α-π4＝π2,∴csπ4＋α＝sinπ2-π4＋α＝sinπ4-α＝-sinα-π4＝-13.
题型三利用诱导公式证明恒等式
【例3】求证:2sinθ-3π2csθ＋π2-11-2sin2(π＋θ)＝tan(9π＋θ)+1tan(π＋θ)-1.
证明 左边＝-2sin3π2-θ·(-sinθ)-11-2sin2θ
＝2sinπ＋π2-θsinθ-11-2sin2θ＝-2sinπ2-θsinθ-11-2sin2θ
＝-2csθsinθ-1cs2θ＋sin2θ-2sin2θ＝(sinθ+csθ)2sin2θ-cs2θ＝sinθ+csθsinθ-csθ.
右边＝tanθ+1tanθ-1＝sinθ+csθsinθ-csθ.
∴左边＝右边,故原等式成立.
练3-1. 求证:cs5π2＋xsinx-5π2tan(6π-x)＝-1.
证明:因为cs5π2＋xsinx-5π2tan(6π-x)
＝cs2π＋π2＋xsinx-π2-2πtan(-x)
＝csπ2＋x-sinx-π2tanx＝-sinxcsxtanx＝-1＝右边,所以原等式成立.
题型四诱导公式的综合应用
【例4】 若f(α)＝sinα-π2cs3π2＋αtan(2π-α)tan(α＋π)sin(α＋π).
(1)化简f(α);
(2)若f(α)·fα＋π2＝-18,且5π4≤α≤3π2,求f(α)＋fα＋π2的值.
解 (1)f(α)＝-csαsinα(-tanα)tanα(-sinα)＝-cs α.
(2)fα＋π2＝-csα＋π2＝sin α,因为f(α)·fα＋π2＝-18,所以cs α·sin α＝18,可得f(α)＋fα＋π22＝(sin α-cs α)2＝34,由5π4≤α≤3π2,得cs α≥sin α,所以f(α)＋fα＋π2＝sin α-cs α＝-32.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.已知sin5π2＋α＝15,那么cs α＝( )
A.-25 B.-15 C.15 D.25
解析:C sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cs α,故cs α＝15,故选C.
2.已知csπ2＋φ＝32,且｜φ｜＜π2,则tan φ＝( )
A.-33 B.33 C.-3 D.3
解析:C 由csπ2＋φ＝-sin φ＝32,得sin φ＝-32.又｜φ｜＜π2,∴φ＝-π3,∴tan φ＝-tan π3＝-3.故选C.
3.计算:sin211°＋sin279°＝ .
解析:因为11°＋79°＝90°,所以sin 79°＝cs 11°,所以原式＝sin211°＋cs211°＝1.
答案:1
4.化简:
sinπ2-αcsπ2＋αcs(π＋α)-sin(2π-α)csπ2-αsin(π-α).
解:原式＝csα(-sinα)-csα-sin(-α)sinαsinα＝sin α-(-sin α)＝2sin α.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字