高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式导学案及答案

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一．学习目标
1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出三角函数的诱导公式（重点）
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习三角函数的诱导公式二、三、四
三．课堂导学

“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆(单位圆)是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示.圆有很好的对称性:圆既是以圆心为对称中心的中心对称图形,又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
问题 你能否利用这些对称性,借助单位圆,讨论任意角α的终边与π±α,-α有什么样的对称关系?
知识点 诱导公式二、三、四
提醒 诱导公式的记忆方法与口诀:①记忆方法:2kπ＋α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
1.若sin(3π＋α)＝13,则sin α＝( )
A.13 B.-13 C.3 D.-3
解析:B sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝-sin α＝13,∴sin α＝-13.
2.若tan α＝4,则tan(π-α)＝( )
A.π-4 B.4π C.-4 D.4-π
解析:C tan(π-α)＝-tan α＝-4.
3.求值:(1)sin 2π3＝ ;
(2)cs-7π6＝ .
解析:(1)sin 2π3＝sinπ-π3＝sin π3＝32.
(2)cs-7π6＝cs 7π6＝csπ＋π6＝-cs π6＝-32.
答案:(1)32 (2)-32
四．典例分析、举一反三
题型一给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值:
(1)cs17π6;(2)tan(-855°);(3)tan3π4＋sin11π6.
解 (1)cs17π6＝cs2π＋5π6＝cs5π6＝csπ-π6＝-csπ6＝-32.
(2)tan(-855°)＝-tan 855°＝-tan(2×360°＋135°)＝-tan 135°＝-tan(180°-45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝tanπ-π4＋sin2π-π6＝-tanπ4-sinπ6＝-1-12＝-32.
练1-1. 计算:(1)sin-7π3;(2)tan(-765°);(3)sin4π3·cs25π6·tan5π4.
解:(1)原式＝-sin7π3＝-sin2π＋π3＝-sinπ3＝-32.
(2)原式＝-tan 765°＝-tan(2×360°＋45°)＝-tan 45°＝-1.
(3)原式＝sinπ＋π3cs4π＋π6tanπ＋π4＝-sinπ3csπ6tanπ4＝-32×32×1＝-34.
题型二 给值(式)求值
【例2】已知cs（π6-α）＝33,则cs（α＋5π6）＝ .
解析 cs（α＋5π6）＝cs［π-（π6-α）］＝-cs（π6-α）＝-33.
答案 -33
1.(变设问)若本例中条件不变,求cs（α-13π6）的值.
解:cs（α-13π6）＝cs（13π6-α）＝cs［2π＋（π6-α）］＝cs（π6-α）＝33.
2.(变设问)若本例中条件不变,求cs（5π6＋α）-sin2（α-π6）的值.
解:因为cs（5π6＋α）＝cs［π-（π6-α）］＝-cs（π6-α）＝-33,
sin2（α-π6）＝sin2［-（π6-α）］＝1-cs2（π6-α）＝1-（33）2＝23,
所以cs（5π6＋α）-sin2（α-π6）＝-33-23＝-2+33.
练2-1. 1.已知sin(π＋α)＝35,且α是第四象限角,那么cs(α-π)＝( )
A.45 B.-45 C.±45 D.35
解析:B 因为sin(π＋α)＝-sin α＝35,所以sin α＝-35.又α是第四象限角,所以cs α＝45,所以cs(α-π)＝cs(π-α)＝-cs α＝-45.故选B.
2.已知sin（θ-π3）＝-13,且θ∈（0,π2）,则cs（2π3＋θ）＝ .
解析:cs（2π3＋θ）＝cs［（θ-π3）＋π］＝-cs（θ-π3）,∵θ∈（0,π2）,∴θ-π3∈（-π3,π6）,∴cs（θ-π3）＞0,即cs（θ-π3）＝1-sin2（θ-π3）＝223,∴cs（2π3＋θ）＝-223.
答案:-223
题型三三角函数值符号与诱导公式一的综合应用
【例3】化简:(1)cs(-α)tan(7π＋α)sin(π-α);(2)sin(1 440°＋α)·cs(α-1 080°)cs(-180°-α)·sin(-α-180°).
解 (1)原式＝csαtan(π＋α)sinα＝csα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.
(2)原式＝sin(4×360°＋α)·cs(α-3×360°)cs(180°＋α)·[-sin(180°＋α)]
＝sinα·csα(-csα)·sinα＝csα-csα＝-1.
练3-1. 化简:(1)sin(3π＋α)·cs(α-4π)cs(-α-5π)·sin(-π-α);(2)sin[α＋(2n+1)π]+2sin[α-(2n+1)π]sin(α-2nπ)cs(2nπ-α)(n∈Z).
解:(1)原式＝sin(π＋α)·csαcs(π＋α)·[-sin(π＋α)]＝csαcsα＝1.
(2)原式＝sin[(π＋α)+2nπ]+2sin[(α-π)-2nπ]sin(α-2nπ)cs(2nπ-α)
＝sin(π＋α)+2sin(α-π)sinαcsα＝-sinα-2sinαsinαcsα＝-3csα.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.cs-32π3＝( )
A.-12 B.-32 C.12 D.32
解析:A 由诱导公式可知cs-32π3＝cs4π3-12π＝cs4π3＝csπ＋π3＝-csπ3＝-12,故选A.
2.已知角α的终边过点(5,-2),则sin(α-3π)＝( )
A.-53 B.255 C.-23 D.23
解析:D 由已知得sin α＝-23,则sin(α-3π)＝-sin α＝23.故选D.
3.tan(5π＋α)＝m,则sin(α-3π)+cs(π-α)sin(-α)-cs(π＋α)＝( )
A.m+1m-1 B.m-1m+1 C.-1 D.1
解析:A 因为tan(5π＋α)＝tan α＝m,所以原式＝sin(π＋α)-csα-sinα+csα＝-sinα-csα-sinα+csα＝sinα+csαsinα-csα＝tanα+1tanα-1＝m+1m-1.
4.化简:cs(3π-α)sin(-π＋α)·tan(2π-α)＝ .
解析:原式＝cs(π-α)-sin(π-α)·tan(-α)＝-csα-sinα·-sinαcsα＝-1.
答案:-1
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字终边关系
图示
公式
角π＋α与角α的终边关于 原点 对称
sin(π＋α)＝ -sin α ,
cs(π＋α)＝ -cs α ,
tan(π＋α)＝ tan α
角-α与角α的终边关于 x 轴对称
sin(-α)＝ -sin α ,
cs(-α)＝ cs α ,
tan(-α)＝ -tan α
角π-α与角α的终边关于 y 轴对称
sin(π-α)＝ sin α ,
cs(π-α)＝ -cs α ,
tan(π-α)＝ -tan α