高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀课后作业题

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1.已知α∈-π2,0,cs α＝45,则tanα2＝( )
A.3 B.-3 C.13 D.-13
解析:D 因为α∈-π2,0,且cs α＝45,所以α2∈-π4,0,tanα2＝- 1-csα1+csα＝- 1-451+45＝-13.
2.若sin(π-α)＝-53且α∈π,3π2,则sin（π2＋α2）＝( )
A.-63 B.-66 C.66 D.63
解析:B 由题意知sin α＝-53,α∈π,3π2,所以cs α＝-23.因为α2∈π2,3π4,所以sinπ2＋α2＝cs α2＝-1+csα2＝-66.故选B.
3.设-3π＜α＜-5π2,则1+sin(α-π)＝( )
A.sin α2＋cs α2 B.-cs α2-sin α2 C.cs α2-sin α2 D.sin α2-cs α2
解析:D ∵-3π＜α＜-5π2,∴-3π2＜α2＜-5π4.∴sin α2＞0,cs α2＜0,1+sin(α-π)＝1-sinα＝（sin α2-cs α2）2＝｜sin α2-cs α2｜＝sin α2-cs α2.
4.设a＝12cs 6°-32sin 6°,b＝2sin 13°cs 13°,c＝1-cs50°2,则有( )
A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.a＜c＜b D.b＜c＜a
解析:C a＝12cs 6°-32sin 6°＝sin(30°-6°)＝sin 24°,b＝2sin 13°cs 13°＝sin 26°,c＝1-cs50°2＝221-sin40°＝22(cs 20°-sin 20°)＝sin 25°,函数y＝sin x,x∈(0°,90°)是增函数,所以a＜c＜b,故选C.
5.(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A.1-cs2α1+cs2α
B.sinα1+csα
C.1+cs(π+2α)2·1csα(α∈(0,π))
D.1-cs2αsin2α
解析:CD A不符合,1-cs2α1+cs2α＝2sin2α2cs2α＝tan2α＝｜tan α｜;B不符合,sinα1+csα＝2sin α2cs α22cs2α2＝tan α2;C符合,因为α∈(0,π),所以原式＝1-cs2α2·1csα＝sinαcsα＝tan α;D符合,1-cs2αsin2α＝2sin2α2sinαcsα＝tan α.
6.(多选)已知2sin α＝1＋cs α,则tan α2的可能取值为( )
A.12 B.1 C.2 D.不存在
解析:AD 由题意知4sin α2cs α2＝1＋2cs2α2-1,故有2sin α2cs α2-cs2α2＝0,若2sin α2-cs α2＝0,则tan α2＝12;若cs α2＝0,则tan α2不存在.
7.sin π8＝ .
解析:sin π8＝1-cs π42＝1-222＝2-22 .
答案:2-22
8.若sin θ＝35,5π2＜θ＜3π,则sinθ2＝ .
解析:∵sin θ＝35,5π2＜θ＜3π,∴5π4＜θ2＜3π2,cs θ＝-1-sin2θ＝-45,∴sinθ2＝-1-csθ2＝-31010.
答案:-31010
9.化简:sin4x1+cs4x·cs2x1+cs2x·csx1+csx＝ .
解析:原式＝2sin2xcs2x2cs22x·cs2x1+cs2x·csx1+csx＝sin2x1+cs2x·csx1+csx＝2sinxcsx2cs2x·csx1+csx＝sinx1+csx＝tan x2.
答案:tan x2
10.求证:1+sinxcsx＝tanπ4＋x2.
证明:左边＝cs x2+sin x22cs x2+sin x2cs x2-sin x2
＝cs x2+sin x2cs x2-sin x2＝1+tan x21-tan x2＝tan π4+tan x21-tan π4tan x2
＝tanπ4＋x2＝右边.所以原等式成立.
11.设直角三角形中两锐角为A和B,则cs Acs B的取值范围是( )
A.（0,12］ B.(0,1) C.［12,1） D.［34,1）
解析:A 直角三角形中两锐角为A和B,则A＋B＝C＝π2,则cs Acs B＝12[cs(A-B)＋cs(A＋B)]＝12cs(A-B),再结合A-B∈（-π2,π2）,可得cs(A-B)∈(0,1],∴12cs(A-B)∈（0,12］.
12.(多选)已知f(x)＝sin2x＋π4,若a＝f(lg 5),b＝flg15,则( )
A.a＋b＝0 B.a-b＝0 C.a＋b＝1 D.a-b＝sin(2lg 5)
解析:CD f(x)＝sin2x＋π4＝1-cs2x＋π22＝1+sin2x2＝12sin 2x＋12.因为a＝f(lg 5),b＝flg15＝f(-lg 5),所以a＋b＝1+sin(2lg5)2＋1-sin(2lg5)2＝1,a-b＝1+sin(2lg5)2-1-sin(2lg5)2＝sin(2lg 5).故选C、D.
13.化简:sin α2+cs α＋β2sin β2cs α2-sin α＋β2sin β2＝ .
解析:原式＝sin α2＋12［sin（α2＋β）-sin α2］cs α2＋12［cs（α2＋β）-cs α2］＝sin α2+sin（α2＋β）cs α2+cs（α2＋β）＝2sin α＋β2cs β22cs α＋β2cs β2＝tan α＋β2.
答案:tan α＋β2
14.已知5π2＜α＜3π,试化简:12＋1212＋12cs2α＋cs α2.
解:因为5π2＜α＜3π,所以5π4＜α2＜3π2,
所以cs α＜0,sin α2＜0.
故原式＝12＋121+cs2α2＋cs α2
＝12-12csα＋cs α2＝1-csα2＋cs α2
＝-sin α2＋cs α2.
15.tan12°-3sin6°sin84°＋32cs212°＝( )
A.4 B.8 C.16 D.32
解析:C 原式＝tan12°-tan60°sin6°cs6°＋16·(2cs212°-1)＋16＝sin12°cs12°-sin60°cs60°12sin12°＋16cs 24°＋16＝sin12°cs60°-cs12°sin60°12sin12°cs12°cs60°＋16cs 24°＋16＝sin(12°-60°)18sin24°＋16cs 24°＋16＝-2sin24°cs24°18sin24°＋16cs 24°＋16＝16.
16.已知3π4＜α＜π,tan α＋1tanα＝-103.
(1)求tan α的值;
(2)求5sin2α2+8sin α2cs α2+11cs2α2-82sinα-π4的值.
解:(1)因为tan α＋1tanα＝-103,
所以tan α＝-3或-13,
因为3π4＜α＜π,所以tan α＞-1,
所以tan α＝-13.
(2)5sin2α2+8sin α2cs α2+11cs2α2-82sinα-π4
＝5×1-csα2+8×sinα2+11×1+csα2-8sinα-csα
＝3csα+4sinαsinα-csα＝3+4tanαtanα-1＝3+4×-13-13-1＝-54.