数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案，文件包含542《正弦函数余弦函数的性质》导学案教师版docx、542《正弦函数余弦函数的性质》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性,会求函数的周期（重点）
2.了解三角函数的奇偶性以及对称性,会判断给定函数的奇偶性，单调性（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习正弦函数、余弦函数的性质
三．课堂导学
(1)你能用数学语言刻画出函数的周期性吗?
(2)从它们的图象上你能得到哪些信息?
知识点一 正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个 非零常数T ,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且 f(x＋T)＝f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数 ,那么这个最小 正数 就叫做f(x)的 最小正周期 .
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是 周期函数 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π ;
(2)余弦函数是 周期函数 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π .
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是 奇函数 ,余弦函数是 偶函数 .
知识点三 正弦、余弦函数的单调性与最值
1.函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.函数y＝sin xπ4≤x≤5π6的值域为 .
解析:因为π4≤x≤5π6,所以12≤sin x≤1,即所求的值域为12,1.
答案:12,1
3.函数y＝2-sin x取得最大值时x的取值集合为 .
解析:当sin x＝-1时,ymax＝2-(-1)＝3,此时x＝2kπ-π2,k∈Z.
答案:xx=2kπ-π2,k∈Z
四．典例分析、举一反三
题型一三角函数的周期性
【例1】求下列三角函数的周期:
(1)y＝7sin x,x∈R;
(2)y＝sin 2x,x∈R;
(3)y＝sin（13x-π4）,x∈R;
(4)y＝｜cs x｜,x∈R.
解 (1)因为7sin(x＋2π)＝7sin x,由周期函数的定义知,y＝7sin x的周期为2π.
(2)因为sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x,由周期函数的定义知,y＝sin 2x的周期为π.
(3)因为sin［13(x＋6π)-π4］＝sin（13x＋2π-π4）＝sin（13x-π4）,由周期函数的定义知,y＝sin（13x-π4）的周期为6π.
(4)y＝｜cs x｜的图象如图(实线部分)所示.
由图象可知,y＝｜cs x｜的周期为π.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
【例2】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)＝cs2x＋5π2;
(2)f(x)＝｜sin x｜＋cs x;
(3)f(x)＝cs(2π-x)-x3·sin x.
解 (1)函数的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,
且f(x)＝csπ2+2x＝-sin 2x.
又f(-x)＝-sin(-2x)＝sin 2x＝-f(x),
所以函数f(x)＝cs2x＋5π2是奇函数.
(2)函数f(x)＝｜sin x｜＋cs x的定义域为R,
因为∀x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)＝｜sin(-x)｜＋cs(-x)＝｜sin x｜＋cs x＝f(x),
所以函数f(x)＝｜sin x｜＋cs x是偶函数.
(3)函数的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,
且f(x)＝cs x-x3·sin x,
又f(-x)＝cs(-x)-(-x)3·sin(-x)
＝cs x-x3·sin x＝f(x),
所以f(x)为偶函数.
题型三求正弦、余弦型函数的单调区间
【例3】求函数y＝2sin（x-π3）的单调区间.
解 令z＝x-π3,则y＝2sin z.
∵z＝x-π3是增函数,
∴y＝2sin z单调递增(减)时,函数y＝2sin（x-π3）也单调递增(减).
由z∈［2kπ-π2,2kπ＋π2］(k∈Z),
得x-π3∈［2kπ-π2,2kπ＋π2］(k∈Z),
即x∈［2kπ-π6,2kπ＋5π6］(k∈Z),
故函数y＝2sin（x-π3）的单调递增区间为［2kπ-π6,2kπ＋5π6］(k∈Z).
同理可求函数y＝2sin（x-π3）的单调递减区间为［2kπ＋5π6,2kπ＋11π6］(k∈Z).
(变条件)求函数y＝2sin（x-π3）,x∈[0,2π]的单调区间.
解:由例题知y＝2sin（x-π3）的单调递增区间为［2kπ-π6,2kπ＋5π6］,k∈Z,
又∵x∈[0,2π],∴0≤x≤5π6或11π6≤x≤2π,
∴函数y＝2sin（x-π3）,x∈[0,2π]的单调递增区间为［0,5π6］,［11π6,2π］,
同理函数y＝2sin（x-π3）,x∈[0,2π]的单调递减区间为［5π6,11π6］.
综上,函数y＝2sin（x-π3）,x∈[0,2π]的单调递增区间为［0,5π6］,［11π6,2π］,单调递减区间为［5π6,11π6］.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.函数f(x)＝cs(-x)( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
解析:B 由于x∈R,且f(-x)＝cs x＝f(x),所以f(x)为偶函数.
2.下列函数中,周期为π的是( )
A.y＝sin x2 B.y＝sin 2x C.y＝cs x4 D.y＝cs(-4x)
解析:B y＝sin 2π,T＝2π2＝π.
3.函数y＝-cs x在区间［-π2,π2］上( )
A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减
解析:C 因为y＝cs x在区间［-π2,π2］上先增后减,所以y＝-cs x在区间［-π2,π2］上先减后增.
4.设a＝cs π12,b＝sin 41π6,c＝cs 7π4,则( )
A.a＞c＞b B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞c＞a
解析:A sin 41π6＝sin（8π-7π6）＝-sin 7π6＝sin π6＝cs π3,cs 7π4＝cs（2π-π4）＝cs（-π4）＝cs π4.∵y＝cs x在（0,π2）上单调递减,且π12＜π4＜π3,∴cs π12＞cs π4＞cs π3,即a＞c＞b.
5.函数f(x)＝2sin（x-π6）在区间［π3,π2］上的最大值为 .
解析:当x∈［π3,π2］时,x-π6∈［π6,π3］,12≤sin（x-π6）≤32,所以1≤2sin（x-π6）≤3,所以函数f(x)＝2sin（x-π6）在区间［π3,π2］上的最大值为3.
答案:3
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字正弦函数
余弦函数
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
单
调
性
增区间
［-π2＋2kπ,π2＋2kπ］,k∈Z
[-π＋2kπ,2kπ],k∈Z
减区间
［π2＋2kπ,3π2＋2kπ］,k∈Z
[2kπ,π＋2kπ],
k∈Z
最
值
ymax＝1
x＝π2＋2kπ,k∈Z
x＝2kπ,k∈Z
ymin＝-1
x＝-π2＋2kπ,k∈Z
x＝π＋2kπ,k∈Z