数学5.4 三角函数的图象与性质同步训练题

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1.在同一平面直角坐标系内,函数y＝sin x,x∈[0,2π]与y＝sin x,x∈[2π,4π]的图象( )
A.重合 B.形状相同,位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
解析:B 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x,x∈[0,2π]与y＝sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.
2.函数y＝-cs x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A.π2,1 B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1)
解析:B 用“五点法”作出函数y＝-cs x(x＞0)在(0,2π]上的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).
3.函数y＝cs x＋｜cs x｜,x∈[0,2π]的大致图象为( )
解析:D 由题意得
y＝2csx,0≤x≤π2或32π≤x≤2π,0,π2＜x＜32π.故选D.
4.在[0,2π]上,函数y＝2sinx-2的定义域是( )
A.［0,π4］ B.［π4,3π4］ C.［π4,π2］ D.［3π4,π］
解析:B 依题意得2sin x-2≥0,即sin x≥22.作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝22,如图所示.由图象可知,满足sin x≥22的x的取值范围是［π4,3π4］.
5.设0≤x≤2π,使sin x≥12且cs x＜22同时成立的x的取值范围是( )
A.［π6,5π6］ B.［π6,7π4］ C.［5π6,7π4］ D.（π4,5π6］
解析:D 因为0≤x≤2π,由正弦曲线得sin x≥12时,x∈［π6,5π6］,由余弦曲线得cs x＜22时,x∈（π4,7π4）,因为［π6,5π6］∩（π4,7π4）＝（π4,5π6］,所以使sin x≥12且cs x＜22同时成立的x的取值范围是（π4,5π6］.
6.(多选)下列命题中,真命题的是( )
A.y＝sin｜x｜的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B.y＝cs(-x)的图象与y＝cs｜x｜的图象相同
C.y＝｜sin x｜的图象与y＝sin(-x)的图象关于x轴对称
D.y＝cs x的图象与y＝cs(-x)的图象相同
解析:BD 对于B,y＝cs(-x)＝cs x,y＝cs｜x｜＝cs x,故其图象相同;对于D,y＝cs(-x)＝cs x,故这两个函数图象相同,作图(图略)可知A、C均是假命题.
7.已知函数f(x)＝3＋2cs x的图象经过点π3,b,则b＝ .
解析:b＝fπ3＝3＋2csπ3＝4.
答案:4
8.用“五点法”作函数y＝1＋cs x,x∈[0,2π]的图象时,应取的五个关键点分别是 .
解析:x依次取0,π2,π,3π2,2π得五个关键点(0,2),π2,1,(π,0),3π2,1,(2π,2).
答案:(0,2),π2,1,(π,0),3π2,1,(2π,2)
9.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解,则实数m的取值范围是 .
解析:由正弦函数的图象,知当x∈[0,2π]时,sin x∈[-1,1],要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解,则-1≤4m＋1≤1,故-12≤m≤0.
答案:-12,0
10.用“五点法”作出函数y＝1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:(1)y＞1;(2)y＜1.
解:列表如下:
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图:
由图象可知,图象在直线y＝1上方部分时y＞1,在直线y＝1下方部分时y＜1,所以(1)当x∈(-π,0)时,y＞1.
(2)当x∈(0,π)时,y＜1.
11.函数f(x)＝lg x与g(x)＝cs x的图象的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.不确定
解析:C 在同一坐标系中,作出函数f(x)＝lg x与g(x)＝cs x的图象,如图所示,由图可知,两函数的交点个数为3.
12.(多选)下列x的取值范围能使cs x＞sin x成立的是( )
A.0,π4 B.π4,5π4 C.5π4,2π D.π4,π2∪π,5π4
解析:AC 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在[0,2π]内的图象,如图所示.在[0,2π]内,当cs x＝sin x时,x＝π4或x＝5π4,结合图象及选项可知满足cs x＞sin x的是0,π4和5π4,2π,故选A、C.
13.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数,图象如图所示,则不等式f(x)cs x＜0的解集是 .
解析:由题意知f(x)>0,csx<0或f(x)<0,csx>0,可得1答案:(0,1)∪（π2,3）
14.求下列函数的定义域:
(1)y＝lg3sinx-32;
(2)y＝2csx-2.
解:(1)要使函数有意义,则sin x＞32,作出y＝sin x在[0,2π]内的图象如图所示.
由图象知,在[0,2π]内使sin x＞32的x的取值范围是π3,2π3.
故原函数的定义域为2kπ＋π3,2kπ＋23π(k∈Z).
(2)要使函数有意义,则2cs x-2≥0,
∴cs x≥22,画出y＝cs x的图象及直线y＝22,如图所示,
由图象可知函数的定义域为［2kπ-π4,2kπ＋π4］(k∈Z).
15.函数y＝2cs x,x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
解析:如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2＝4π.
答案:4π
16.已知定义在区间-π,3π2上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π4对称,当x≥π4时,f(x)＝-sin x.
(1)作出y＝f(x)的图象;
(2)求y＝f(x)的解析式;
(3)若关于x的方程f(x)＝-910有解,将方程所有解的和记作M,结合(1)中的图象,求M的值.
解:(1)y＝f(x)的图象如图所示.
(2)任取x∈-π,π4,则π2-x∈π4,3π2,
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π4对称,
所以f(x)＝fπ2-x,
又当x≥π4时,f(x)＝-sin x,
所以f(x)＝fπ2-x＝-sinπ2-x＝-cs x.
所以f(x)＝-csx,x∈-π,π4,-sinx,x∈π4,3π2.
(3)当x＝π4时,fπ4＝-22.因为-910∈-1,-22,所以结合图象可知,f(x)＝-910有4个解,分别设为x1,x2,x3,x4,且4个解满足x1＜x2＜π4＜x3＜x4,由图象的对称性可知x1＋x2＝0,x3＋x4＝π,
所以M＝x1＋x2＋x3＋x4＝π.
x
-π
-π2
0
π2
π
sin x
0
-1
0
1
0
1-2sin x
1
3
1
-1
1