数学：辽宁省葫芦岛市普通高中2024届高三下学期第二次模拟考试试卷（解析版）

这是一份数学：辽宁省葫芦岛市普通高中2024届高三下学期第二次模拟考试试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集的定义立得.
故选：A.
2. 设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ）
A. 若，则A与B相互独立B.
C. D. A与B有可能是对立事件
【答案】A
【解析】对A：由，故，则有，
故与相互独立，故与相互独立，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，由未定，故C错误；
对D：，故与不是对立事件，故D错误.
故选：A.
3. 某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A. 20种B. 14种C. 10种D. 7种
【答案】B
【解析】第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，
共有种分法；
第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，
则不同的安排方法有（种）.
故选：B.
4. 等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】在等差数列中，，由，可得，
，，且数列为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
5. 某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间方差为：.
故选：D.
6. 已知函数的部分图象如图所示，若，，则正整数的取值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】方法一：因为，
所以，
，所以，即，
而，所以是非负整数，
又由图象可得，所以，
综上，只能，
所以的最小正周期为，
而由，可知，即正整数是的周期，
所以，即，对比选项可知只有C选项符合题意.
方法二：设函数的最小正周期为，由于，故据图象可知，从而.
从而由表明，比对选项知C正确，A，B，D错误.
故选：C.
7. 直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（ ）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 4条
【答案】C
【解析】如图所示，设直线与平面相交于，直线在平面的射影为直线.
且直线与平面所成角为，
即.
设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，
即圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于.
当过点的母线为直线时，
直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，即,
当过点的母线沿逆时针旋转到直线时，
直线与直线所成角为，即，
所以过点的直线从沿逆时针旋转到直线时，
与直线所成角的范围为，
故存在一条过点的直线与直线所成角为，
同理可得，过点的直线从沿顺时针旋转到直线时，
也存在一条过点的直线与直线所成角为，
所以过点的直线与平面所成角为，与直线所成角为的直线有2条.
故选：C.
8. 已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，
当或时，关于的方程只有个实数根，
因为关于x的方程有三个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，
或方程的两个根一个为，另一个在上，
若为方程的根时，则，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
若为方程的根时，则或，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程只有一个根为，不符题意，
若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，
令，
则，即，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故选：B.
二、选择题
9. 已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 已知向量，，则
C. 若，则和在上的投影向量相等
D. 已知，，，则点A，B，D一定共线
【答案】CD
【解析】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；
对于B，设，则，解得，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；
对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.
故选：CD.
10. 集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（ ）
A. 数列的通项公式为
B.
C. 实数的取值范围是
D. 数列中的每一项都不能够被5整除
【答案】D
【解析】解，
所以，即B错误；
所以，则，
两式相减得：，
当时，，所以，不满足上式，所以A错误；
由上，当时，
由恒成立，则，
等价变形得：，化简得：，
当为偶数得：，则，所以，
当为奇数得：，由，所以，
但是当时，，而，
由得：，解得，
综上可得：，所以C错误；
当时，，
因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，此时一定不能被5整除，
而当时，，显然不能被5整除，所以D正确；
故选：D．
11. 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为
C. 过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D. 两个曲线在P点处的切线互相垂直
【答案】ABD
【解析】A选项，因为，
所以，
又，
故，则⊥，
由椭圆定义可得，
由双曲线定义可得，
解得，
由勾股定理得，即，
化简得，即，
又，所以，A正确；
B选项，若，由余弦定理得，
即，
由（1）得，
代入上式得，即，
即，
因为又，所以，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，B正确；
C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点，
因为平分，由三线合一得，为的中点，
则，
连接，由中位线性质得，
故点H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
下面证明：上一点的切线方程为，
理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，
，
由
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
故椭圆：在点处的切线斜率为，
双曲线在点处切线斜率为，
又，故，
化简得，
又，所以，故
则斜率乘积为，
故两曲线在点处的切线互相垂直，D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
12. 已知复数z满足，则的值为______.
【答案】
【解析】由题意可得，则，
所以.
故答案为：.
13. 在中，，，M是的中点，，则______，______.
【答案】
【解析】依题作出图像，如图：
在中，，，，
由余弦定理：，解得：，
则，所以，
解得：，
故.
故答案为：；
14. 已知实数，，则的最大值为______.
【答案】2
【解析】因为，
又因为，，所以可由平方均值不等式得：，
取等号条件是，即，
所以上式可变为：，
取等号条件是：，即，结合，
可得取到最大值的条件是：.
故答案为：2
四、解答题
15. 设函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间内单调递增，求k的取值范围.
解：（1）当，，，，
又.
所以，
整理得：.
（2）由题意，在内导数非负，
即在上恒成立，令，
从而需满足：且，
所以且，经检验符合题意，
所以k的取值范围是.
16. 某商场为调查手机卖场各品牌手机在晚上19：30到21：00时段的销售情况，随机抽取了某一周该时段的销售数据，并要求每个品牌只抽取一个款式的手机，且不考虑价格波动.
销售利润率是指：一部手机销售价格减去出厂价格得到的利润与该手机销售价格的比值.
（1）从该公司本周该时段卖出的手机中随机选一部，求这部手机利润率高于0.07的概率；
（2）从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800元的手机中随机选取2部，求这两部手机的利润率不同的概率；
（3）销售一部步步高手机获利元，销售一部三星手机获利元，…，销售一部viv手机获利元，依据上表统计数据，随机销售一部手机获利的期望为，设，试判断与的大小.
解：（1）由题意知，本周该时段共卖出30部手机，
利润率高于0.07的是步步高4部和viv 7部，共有11部.
设“这部手机利润率高于0.07”为事件A，则.
（2）用销售总额除以销售量得到手机的销售单价，可知步步高手机和华为手机销售单价为4800元，有步步高手机4部，华为手机10部，共有14部，
随机选取2部有种不同方法，由于两部手机的利润率不同，则每类各取一部有种不同方法，
设两部手机的利润率不同为事件B，则.
（3）由题意可知利润等于价格乘以利润率，
于是，，，，
所以，x可能取的值为288，400，420，480.
，
，
，
因此，
又
所以.
17. 如图，在五面体中，底面是菱形，，.
（1）求证：；
（2），M是的中点，O为的中点，且，.
①求证：平面；
②求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：因为底面是菱形，所以.
又面，面.
面，
又因为面，面面，
所以.
（2）①证明：取的中点G连结，.由已知，
所以有.
又因为O为中点，所以，
又，，
所以.
又，面.且，
所以面，
又因为面，所以，
又，且，相交.
又因为，面，
所以面；
②解：以O为原点.以所在直线为z轴.以所确线为y轴.过O作平行线为x轴，建立空间直角坐标系.如图
，，，，，
，，，
设面的法向量，
，，，
设所求线面角为，.
18. 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点.
（1）求的标准方程；
（2）若直线过点，且斜率，求面积的最小值；
（3）若直线，与相切，求证：直线也与相切.
（1）解：根据题意得，，
，，解得，
所以，抛物线的标准方程为.
（2）解：设直线为代入得，，
设，，，则有，.
点到直线的距离为，
，
，
设，
则，所以函数在上单调递增，
所以，所以的最小值为.
（3）证明：直线的方程为，
，，
，即，
代入到得：，
，即，①
同理直线的方程为即，
代入到得：，
，即，②
由①②，显然，满足方程，
再将直线代入到得：，
，所以直线也与相切.
19. 设数阵，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.
（1）若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；
（2）若，，求的所有可能取值的和；
（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于.
（1）解：因为，，
经过变换得到的数阵，
经过变换得到的数阵，
所以.
（2）解：若，则或，
可得，4种情况；
若或，，则，
可得，4种情况；
若，从和中各取出一个元素a，b，
，，，则，
可得，8种；
若，，则或，
可得，4种情况；
综上，的所有可能取值的和；
（3）证明：若，在的所有非空子集中，
①含有且不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，；
其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
②含有且不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，；
其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
③同时含有和的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，；
④不含也不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均变为，；
若，在的所有非空子集中，
①含有的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为，；
②不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为，；
综上，经过变换后，所有的第一列数的和为
同理，经过变换后所有的第二列数的和为.
所以所有可能取值的和为，
又因为，所以所有可能取值的和不超过.手机品牌
步步高
三星
华为
苹果
viv
销售总额（万元）
1.92
1.8
4.8
4.8
2.52
销售量
4
3
10
6
7
销售利润率
0.1
0.07
0.06
0.05
0.08