数学：湖南省衡阳市祁东县2024届高三下学期考前仿真联考三试题（解析版）

这是一份数学：湖南省衡阳市祁东县2024届高三下学期考前仿真联考三试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】D
【解析】由题意，，，
故选：D.
2. 若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为数据的标准差为，
由数据方差的性质，可得数据，，…，的标准差为，
故选：D.
3. 对任意的实数，若，则的值为（ ）
A. 15B. 6C. 1D. 20
【答案】C
【解析】因为，
令，可得.
故选：C.
4. 已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.
故选：C.
5. 已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，由题意，圆锥的底面半径为，
则，
要使三棱锥体积最大，须使底面上的高最大，
故须使平面，因平面底面圆，且交线为,
故只须使即可，此时
.
故选:A.
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由已知，在中，由正弦定理得，
所以，又，故.
故选：A.
7. 在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若，由向量的线性运算法则，
可得，
因为，所以，，所以，所以是的充分条件；
若，令得，代入，得，
由三点共线充要条件可知点，此时不成立，所以不是的必要条件.
故选：A.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，取AB的中点，因为，故得，,
设，由双曲线的定义得①，
，所以，
在中，，，，所以，
，代入①式可得，.
所以，
在中，，解得，
则双曲线的离心率为.
故选：B.
二、选择题
9. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】AD
【解析】对于选项A，若，，则，所以A正确；
对于选项B，若，，，则与平行或异面，所以B不正确；
对于选项C，若，，则可能与平行，相交或在平面内，所以C不正确；
对于选项D，设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，
因为，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，
因为，所以，所以，所以D正确.
故选:AD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B.
C. 函数在上单调递增
D. 方程的解为，
【答案】ABD
【解析】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，所以，
因为，则，则，
因为，则，所以，故B正确；
对于C，，由，得，
而，即时，没有意义，故C错误；
对于D，，则，
方程，得，
即，即，
所以或，因为，，
所以或，解得或，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ）
A. 函数图像关于直线对称
B. 函数为偶函数
C. 4是函数的一个周期
D.
【答案】BCD
【解析】因为是偶函数，所以，
所以函数图象关于直线对称，
因为是奇函数，所以，
即，代入，得，
所以.由，得，
所以，所以函数为偶函数.故选项B正确；
因为，所以，由，
得，所以，得，
所以，所以4是函数的周期.故选项C正确；
由，得，所以，所以，
由，得，，所以，，
因为，所以，故选项A错误；
由，得即，
所以，故选项D正确.
故选:BCD
三、填空题
12. 已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为___________.
【答案】
【解析】方法一：由已知可得，即，
所以，解得，所以.
方法二：因为是关于方程（其中p、q为实数）的一个根，
所以也是该方程的一个根，
由韦达定理得，解得，所以.
故答案为：.
13. 已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为___________.
【答案】
【解析】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为，
由，则，所以圆方程为，
圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.
故答案为：
14. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.若，，函数，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，，
若，令，则，
又，则，
因为，故，故，故在上单调递增，
所以，所以，所以在上单调递增.
若，则，而，故，
故在上单调递减， 所以，所以，
所以在上单调递增.
因为，所以，得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15. 如图所示，在三棱柱中,已知平面平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：因为平面平面，平面平面，
又平面，且，所以平面，
而平面，所以，
在中，因为，，
所以，所以，
又，、平面，所以平面.
（2）解：因为平面，平面，
所以，
而，
所以两两互相垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，设平面的法向量为，
则，令，得；
又，，设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
16. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）
（1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；
（2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望.
附，.
解：（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为学生的性别对选科分类有影响.
（2）设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史.由题意，，，
且，，
.
则，所以，
，
，
，
，
的分布列如下表所示：
（另解：因为，所以）
17 已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题设当时，，
所以，得，
又，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）若，不等式恒成立，则，
，
当时，对于，，所以在上单调递增，
所以时，，即满足题意；
当时，若，则，在上单调递减，
所以，与矛盾，不合题意.
综上所述，实数取值范围为.
18. 已知椭圆.
（1）已知的顶点均在椭圆上，若坐标原点为的重心，求点到直线PQ距离的最小值；
（2）已知定在椭圆上，直线（与轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN斜率均存在，且，证明：直线AB过定点（坐标用，表示）.
（1）解：设，记线段PQ中点为，
因为为的重心，所以，则点的坐标为，
若，则，此时直线PQ与轴垂直，故原点到直线PQ的距离为；
若，此时直线PQ的斜率存在，
设，，则，
又两式相减得，
可得.故直线PQ的方程为，
即，则点到直线PQ的距离为，
将代入得，
因为，所以，故原点到直线PQ距离的最小值为.
（2）证明：设，，，
因为，所以，所以，
即①，
设直线，代入椭圆的方程，
得，
则，，，
，，
将以上4个式子代入①，得，
得，
即②，
因为点在椭圆上，所以，，
代入②得，
得，
即，
因为，所以不在直线AB上，则，
则，得，
所以直线过定点.
19. 已知正项数列的前项和为，首项.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
（1）解：正项数列中，，，，
当时，，
两式相减得，即，
而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：（i）令，求导得，当时，，
当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
于是，即，
即，
当时，，
当时，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
当时，，于是，
当时，，
又，所以，恒有，当时，，
由，得当时，，
则当时，，
从而
，
于是，
所以.
男生
女生
合计
历史类
15
25
40
物理类
35
25
60
合计
50
50
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
4