数学：河北省张家口市2024届高三下学期第三次模拟考试试卷（解析版）

这是一份数学：河北省张家口市2024届高三下学期第三次模拟考试试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】,
故对应的点为，在第三象限，
故选：C
2. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】由可知，，所以，
所以该双曲线的离心率为.
故选：C
3. 现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列，去掉第一个数和最后一个数后，则下列统计量一定不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
【答案】B
【解析】现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列为，去掉第一个数和最后一个数后为.
原平均数为，删除后平均数为，不一定相等，故A不正确；
根据中位数的定义可知，中位数不会发生改变，故B正确；
因为最小的数据变大，最大的数据变小，其余数据不变，方差的意义是新数据与新平均值的波动情况，不能确定不变，故C不正确.
原极差为，删除后极差为，不一定相等，故D不正确.
故选：B.
4. 已知数列为等比数列，，则（ ）
A. 28B. 32C. 36D. 40
【答案】C
【解析】记数列的公比为，由题知，
则，
所以.
故选：C
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】A
【解析】的展开式通项为，
则的展开式中项为，
所以的展开式中的系数为.
故选：A
6. 已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 15
【答案】B
【解析】设，将直线与抛物线联立，
消去有：，有，则
,
由于，因此，即，得到,
因此，
由于抛物线中，抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离，
因此.
故选：B
7. 已知正数m，n满足，则的最大值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】因m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，在等式两边同时乘以，可得：
，
即，解得.
当且仅当时，即当时，取得最大值8.
故选：D
8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记的前n项和为，则.
故选：A
二、选择题
9. 已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，又，，所以，所以，A正确；
对于B，当时，直线不一定垂直于，B错误；
对于C，由面面平行的判定定理可知，C正确；
对于D，由面面垂直性质定理可知，若直线时，直线不一定垂直于，D错误.
故选：AC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为
D. 若，其中为锐角，则的值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确；
对于B，因为，
所以，点不是函数的对称中心，B错误；
对于C，由题知，，
若函数为偶函数，则，得，
因为，所以的最小值为，C正确；
对于D，若，
则，
因为为锐角，，所以，
所以
，D正确.
故选：ACD
11. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现．当前的计算机系统使用的基本都是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，我们用表示十进制数n在二进制下的数字各项之和（例如：，则十进制数5的二进制数为101，），则下列说法正确的是（ ）
A. 十进制数25的二进制数为1101B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，因为，所以十进制数100的二进制数为1100100，所以，B正确；
对于C，设，则，则，所以，C正确；
对于D，因为，所以，D正确.
故选：BCD
三、填空题
12. 圆与圆的公切线的方程为_______．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，
因为，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆化为一般式得：
，，
两式相减得，即，
所以圆的公切线的方程为.
故答案为：
13. 已知向量，若，则在上的投影向量为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，解得，
因为，所以在上的投影向量为.
故答案为：
14. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率__________．
【答案】
【解析】因为比赛结束时，两人的得分总和为n，其中且两人的得分的差的绝对值为，
所以，且为偶数，
所以当，时，，
当时，，
当，且偶数时，
若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负，
所以事件甲赢得比赛的概率为，
同理乙赢得比赛的概率为，
所以，
时，的值也符合关系，
所以，，，
故答案为：.
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．
（1）解：的定义域为，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
又，所以切线方程为，即.
（2）证明：，
令，则，
因为，
所以存在，使得，即，
易知在上单调递增，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以当时，取得最小值：
，
由二次函数性质可知，在上单调递减，
所以，即，
所以.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若为内角A的平分线，且，求．
（1）证明：记的中点为，则，
因为，所以，
所以为的垂直平分线，所以.
（2）解：记，
因，所以，
所以，，
又为内角A的平分线，所以，，
在中，分别由余弦定理得：
，
联立可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，且平面平面．
（1）求三棱锥体积的最大值；
（2）若，点E为线段上一点，当二面角为时，求的值．
解：（1）记BD的中点为O，连接OC，AO，
因为为正三角形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
记，
则，
三棱锥体积，
当时，三棱锥体积取得最大值.
（2）记BC，CD的中点分别为F，H，连接OF，OH，
则，又，所以，
由（1）知平面，平面，所以，
以O为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
，，
设，则，
设为平面的法向量，
则，
取，则，
易知，为平面的一个法向量，
因为二面角为，
所以，即，解得，
所以.
18. 已知点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且面积的最大值为，直线与直线相交于点M，求的取值范围．
解：（1）令，得，解得，
所以，，即，整理得，
解得（舍去）或.
（2）易知，当点在短轴端点时，的面积最大，
所以，解得，
所以，椭圆C的方程为.
易知，直线的斜率不为0，
设其方程分别为：，，
联立，
解得，
所以，
由斜率公式可得，
所以，
，
因，
所以，
，
所以，，
联立得，，所以，
不妨记，，
则，
所以，
易知，，所以
所以，即的取值范围为.
19. 在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．
（1）假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式；
（2）当N足够大时，证明：（其中）；
（3）将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．
解：（1）由题知，投入资金为，所获利润为，所以.
（2）由题可知，，
即，
所以
.
（3）由（2）可得，,
因为，
即，
因为，所以，
所以，
因为，，所以，即，
记，
则
，
根据实际意义知，，
则，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值.