数学：甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试试题（解析版）

这是一份数学：甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知复数满足，则， 若集合，则， 函数的所有零点之和为等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以.
故选:B.
2. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解不等式得，
因为，所以，所以，
因为，所以.故选：D.
3. 已知为坐标原点，平面向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得向量，由得，
则，
因此.
故选：C.
4. 冬天，广西南宁三位老师带着11个岁的幼儿园小朋友到哈尔滨研学，一身橘红色的羽线服，以她们独特的服装和欢快的姿态，在全国掀起了一股“小砂糖橘”热潮.已知这11个小朋友中有5个男孩，6个女孩，随机请出3个“小砂糖橘”与小企鹅一起拍照留念，则请出的“小砂糖橘”中至少有2个女孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从11个小朋友中任请3人，基本事件共有种，
恰好是3个女孩的方法数是种，恰好是2个女孩的方法数是种，
故所求的概率是.
故选：C.
5. 已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】因为抛物线，
所以抛物线准线方程为，
故点的横坐标为.
因为，所以点的横坐标，
所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，
所以直线的斜率为.
故选：A.
6. 已知等差数列的前项和为，首项，若，则（ ）
A. -1B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】由前项和定义可得，
因为是等差数列，所以，即，
因为，所以.
设等差数列的公差为，由，所以，
所以，
所以.
故选：D.
7. 若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得圆的圆心坐标为，半径为，
设，则，，
因为，可得，
化简得，故点在以为圆心，半径为的圆上，
又因为存在唯一点也在圆上，所以两圆是外切或内切，
所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值，
即或，
解得或，因为是正数，所以.
故选：B.
8. 函数的所有零点之和为（ ）
A. 0B. -1C. D. 2
【答案】A
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
二､多选题
9. 已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，
再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；
B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，
而函数是偶函数，关于轴对称，
其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；
C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；
D：，显然，
故此函数不是关于直线对称的，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 若点是双曲线上异于的任意一点，则
【答案】AD
【解析】如图，连接，
由双曲线定义可知，，
由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形，
因为，又
所以，，
由，所以，
由，得，
即有，
所以，所以离心率，故A正确；
又，所以，
所以渐近线方程为，，故B、C错误，
设点，因为是直线与双曲线的交点，
根据对称性可得，所以.
又点在双曲线上，代入可得，
两式相减可得，所以，故D正确.
故选：AD.
11. 已知正方体的棱长为为底面对角线的交点，是侧面内的动点（包括边界），如图所示，若始终成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的轨迹长度为
B. 动点到点距离的最小值为
C. 向量与夹角的正弦值为
D. 三棱锥体积的最大值为
【答案】BD
【解析】对于A，取的中点，连结，如图，
则在平面中，，为的中点，为的中点，
则，，又
可得与相似，可得，
再由，可得，即.
因为正方体，所以是等边三角形，显然可得，
因为，平面，所以平面，
故动点轨迹是线段，
在中，，所以A选项错误；
对于B，利用中的等面积法可得，易得动点到点距离的最小值为，故B选项正确.
对于C，在平面中，，
所以在中，，
所以由余弦定理可得，
所以，而，故选项错误；
对于D，因为垂直平面，
所以三棱锥体积等于，
当点到直线的距离最大时，取最大值，
所以由的轨迹可知，当点位于的中点时，此时到直线的距离最大，
此时取最大值，
所以三棱锥体积的最大值为，故D正确.故选：BD.
二､填空题
12. 在中，内角的对边分别为，且，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，
所以的面积为.
故答案为：.
13. 已知正四棱柱中，为的中点，则平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为__________.
【答案】
【解析】由正四棱柱可知底面为正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，
外接球直径等于正四棱柱的体对角线长，所以，所以.
如图，取长方形的中心，连结，
则，而平面，平面，故平面，
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离.
过点作交于点，则球心到平面的距离等于的长.
在长方形中，连结，则，
所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面为圆面，
所以此圆的半径为，
故截面面积为.
故答案为：
14. 已知函数，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由得，所以是上增函数.
又，
故由得，即.
则，
当且仅当时取等号，此时.
故最小值为.
故答案为：
三､解答题
15. 近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求；
（2）估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.
附：，其中.
解：（1）由概率和为1得：，解得；
（2）由题意知，候选者面试成绩的平均数，
所以候选者面试成绩的平均数约为68.5.
（3）由频率分布直方图知不低于80分的人数为，即被录取的共有30人，所以被录取的女生为，又男生与女生各100人，完善列联表如下：
，
所以没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.
16. 已知正项数列满足.
（1）求数列的通项公式及其前项和；
（2）求数列的前项和.
解：（1）当时，，因为是正项数列，所以
由，
当时，，
两式相减得
因为是正项数列，所以，
当时，成立，所以，
显然，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
（2），
所以数列的前项和
所以
17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
（1）证明：在中，由，
得，
即，所以
由平面，平面平面，且平面平面
得平面
（2）解：由（1）得平面，所以，
在等边三角形中，为中点，所以，
即两两互相垂直，则以为坐标原点，所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
又，所以，
则，
所以，设，
则，得到，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
又，
由，
令，得，
所以，
又一面角的大小为，
所以，得到，
又，解得，
所以存在点使二面角的大小为，且
18. 已知椭圆左､右顶点分别为，短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若第一象限内一点在椭圆上，且点与外接圆的圆心的连线交轴于点，设，求实数的值.
解：（1）因为短轴长为，所以，
又椭圆的离心率为，则有，解得，
所以的方程为.
（2）因为外接圆经过椭圆的左､右顶点，所以圆心在轴上，
设圆心，则圆的半径为，所以，
所以，又点在椭圆上，所以，两方程消去得：
再由直线的斜率为，
可设直线的方程为，
令，所以点的横坐标为
又，所以，解得
19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数.
（1）根据公式估算的值，精确到小数点后两位；
（2）当时，比较与的大小，并证明；
（3）设，证明：.
（1）解：由公式可得，
所以.
（2）解：由（1）得，得到结论：当时，
下面给出证明：令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，即当时，，
所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，
即当时，，
故当时，.
（3）证明：因为，所以，则，
由（2）可得：且，
故，
即，，
，，
所以
男生
女生
合计
被录取
20
未被录取
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
被录取
20
10
30
未被录取
80
90
170
合计
100
100
200