湖南省长沙市2024年初中学业水平考试押题密卷（九）数学

这是一份湖南省长沙市2024年初中学业水平考试押题密卷（九）数学，共11页。

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2024的相反数是（ ）
A．12024B．-12024C．2024D．-2024
2．下列等式成立的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a5⋅a5=a10C．a6÷a3=a2D．3a32=6a6
3．第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕，李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过126万亿元．请将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A．126×1012B．12.6×1013C．1.26×1014D．0.126×1015
4．如图是一个水杯，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．某校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，88，89，85，92，90．则这组数据的中位数为（ ）
A．87B．88C．89D．90
6．如图，点A，E，B在同一条直线上，CE⊥DE，若∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．75°C．85°D．105°
7．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A．y=x+1B．y=x-1C．y=1xD．y=x2-x
8．在数轴上表示不等式组1-x≥-1x3>-1的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，AB=2,∠EAF=120°，依据尺规作图的方法可以计算出BD的长为（ ）
A．23B．1C．2D．3
10．我校开展“我爱阅读”读书活动，六年级（1）班对喜欢阅读的书目进行分类统计，结果喜欢阅读的有以下三类：科普读物类、儿童文学类、经典名著类，有的同学喜欢阅读其中的一类，有的喜欢阅读其中的两类，有的三类都喜欢阅读．请问至少有（ ）人才能保证至少有2个人喜欢阅读的书的种类都完全相同．
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若式子x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．因式分解：8x2-8y2= ．
13．化简：m-1m+1m= ．
14．如图，点Ax,y在反比例函数y=-8x的图象上，且AB垂直于x轴，垂足为点B，则S△OAB= ．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为 ．
16．在社会实践活动中，小明同学用一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转120°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：-20240-9+2cs60°．
18．先化简，再求值：2a-32a+3-4aa-2+9，其中a=3．
19．在进行城市规划时，工程师需要在两栋楼宇AE和BF之间建造一个观景台PD，楼宇AE的高度为60米，两栋楼宇相隔80米．规划师在楼宇AE的顶部测量到楼宇BF顶部的俯角∠CAB为30°，在地面上的点D测量楼宇AE顶部的仰角为45°．假设地面是水平的，并且楼宇AE、BF的顶部及观测点P都位于同一平面内．且点P在AB上，请求出观景台的具体高度．
20．为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表：

(1)分别写出a、b的值并补全条形统计图；
(2)若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有多少人?
(3)学校需要深入了解影响作业时间因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少?
21．如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数．
22．某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．
(1)求单位A4纸的用纸量月平均降低率；
(2)根据（1）的结果，估算5月份单位A4纸的用纸量．
23．如图，点G是矩形ABCD内一点，∠BGC=90°，把Rt△BGC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△B'CG'（点B对应点B'，点G对应点G'）延长BG交B'G'于点E，连接AG．
(1)判断四边形CGEG'的形状，并说明理由；
(2)如图1，若B'C=10，EG'=6，CD=4，求S△ABG；
(3)如图2，若AB=AG，ABBC=k1224．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3-1=2，函数y=2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+1-x=x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)①点B(-6,2)的“纵横值”为_________；
②函数y=4x+x(-4≤x≤-2)的“最优纵横值”为_________；
(2)若二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线x=32上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数y=-(x-h)2+k的顶点在直线y=x+9上，当-1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值．
25．（1）【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，AC=CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心，OD为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线；
（2）【知识迁移】
如图2，在菱形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，AC=CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心的⊙O与AD相切于点M．
①AC与⊙O的位置关系为_________________；
②若csB=79， AC=6，求阴影部分面积．
分组
时间x（时）
人数
A
0≤x<0.5
5
B
0.5≤x<1
16
C
1≤x<1.5
a
D
1.5≤x<2
b
E
2≤x<2.5
4
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．x≥1 12．8x+yx-y 13．1
14．4 15．24 16．8π
三、解答题
17．【详解】解：-20240-9+2cs60°
=1-3+2×12
=-2+1
=-1．
18．【详解】解：原式=4a2-9-4a2-8a+9
=4a2-9-4a2+8a+9
=8a，
当a=3时，原式=8×3=24．
19．【详解】解：如图所示，过点P作PH⊥AE于H，连接AD，则四边形DEHP是矩形，
∴PH=DE，PD=HE，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=45°，AE=60米，
∴DE=AEtan∠ADE=60米，
∴PH=DE=60米，
在Rt△AHP中，∠AHP=90°，∠APH=∠BAC=30°，
∴AH=BG⋅tan∠APH=203米，
∴PD=HE=AE-AH=60-203米，
∴观景台的具体高度为60-203米．
20．【详解】（1）解：由图形知a=20，
则b=50-5+16+20+4=5，
补全图形如下：
（2）解：1000×5+16+2050=820（人）；
（3）解：将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，画树形图如图所示：
共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，
∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为212=16．
21．【详解】（1）证明： ∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
∴在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEFSSS．
（2）∵ △ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°，，
∴∠ACB=∠F=85°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．
22．【详解】（1）解；设单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，
由题意得，10001-x2=640，
解得x=20%或x=1.8（舍去），
答：单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%；
（2）解：640×1-20%=512张，
答：估算5月份单位A4纸的用纸量为512张．
23．【详解】（1）解：四边形CGEG'是正方形，理由如下：
由旋转可得：∠GCG'=90°，∠BGC=90°=∠B'G'C，CG=CG'，
∴∠CGE=90°，
∴∠CGE=∠GCG'=∠CG'E=90°，
∴四边形CGEG'是矩形，
∵CG=CG'，
∴四边形CGEG'是正方形．
（2）如图，过G作GT⊥BC于T，
∵四边形GCG'E为正方形，EG'=6，
∴CG'=6=CG，
∵B'C=10，
∴B'G'=102-62=8，
由旋转可得：BC=B'C=10，BG=B'G'=8，
由等面积法可得：12BG×CG=12BC×GT，
∴GT=6×810=4.8，
∴BT=82-4.82=6.4，
∵矩形ABCD，CD=4，
∴AB=CD=4，
∴S△ABG=12×4×6.4=12.8；
（3）如图，过A作AK⊥BG于K，则∠BAK+∠ABK=90°，
∵AB=AG，
∴BK=GK=m，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°=∠ABK+∠CBK，
∴∠CBK=∠BAK，
∵∠AKB=∠BGC=90°，
∴△ABK∽△BCG，
∴ABBC=BKCG，
∴CG=mk，
∴CG=CG'=EG'=mk，
由旋转可得：B'G'=BG=2m，
∴B'E=B'G'-EG'=2m-mk=mk2k-1=2k-1EG'．
24．【详解】（1）①点B(-6,2)的“纵横值”为2--6=8；
②函数y=4x+x图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=4x+x-x=4x，
当-4≤x≤-2时，4x的最大值为4-4=-1，
所以函数y=4x+x(-4≤x≤-2)的“最优纵横值”为-1．
（2）∵二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线x=32上，
∴-b2a=-b2×(-1)=32，
∴b=3，
∵y=-x2+bx+c，
∴y=-x2+3x+c，
∴y-x=-x2+3x+c-x=-x2+2x+c=-x2-2x+1-1+c=-(x-1)2+1+c，
∵最优纵横值为5，
∴1+c=5，
∴c=4；
（3）∵y=-(x-h)2+k的顶点为(h,k)，
∵顶点在直线y=x+9上，
∴k=h+9，
∴y=-(x-h)2+h+9=-x2+2hx-h2+h+9，
令w=y-x=-x2+2hx-h2+h+9-x=-x2+(2h-1)x-h2+h+9，
对称轴为直线x=-2h-12×(-1)=2h-12．
当2h-12<-1时，即h<-12时，
此时当x=-1时，w值为7，
∴7=-(-1)2+(2h-1)×(-1)-h2+h+9，
∴h1=-2,h2=1(不合题意，舍去)．
当2h-12>4时，即h>92时，
此时当x=4时，w值为7，
∴7=-42+(2h-1)×4-h2+h+9，
∴h3=6,h4=3(不合题意，舍去)．
当-1≤2h-12≤4时，即-12≤h≤92，
w=-x2+(2h-1)x-h2+h+9=-x-2h-122+374，
此时最优纵横值不等于7，不合题意．
∴当h=-2或h=6时，二次函数的最优纵横值为7．
25．【详解】解：（1）如图1，过点O作OK⊥AC于点K，
∵ AC=CE，
∴ ∠OAK=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BE，AD⊥OD，
∴ ∠OAD=∠E，
∴ ∠OAD=∠OAK，
∵ AD⊥OD，OK⊥AC，
∴ OD=OK，
又OD为⊙O的半径，
∴点K在⊙O上，
∴ AC是⊙O的切线；
（2）①如图2，过点O作OG⊥AC于点G，连接OM，
∵ ⊙O与AD相切于点M，
∴ OM⊥AD，
∵ AC=CE，
∴ ∠OAG=∠E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BE，
∴ ∠OAD=∠E，
∴ ∠OAD=∠OAG，
又∵ OG⊥AC，OG⊥AC，
∴ OG=OM，
∴AC与⊙O相切，
故答案为：相切；
②如图2，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，csB=79，
∴ BHAB=79，
设BH=7x，AB=9x，
∴AH2=AB2-BH2=32x2，
由菱形的性质可得BC=AB=9x，
∴ CH=BC-BH=2x，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AH2+CH2=AC2，
∴32x2+2x2=62，
解得：x=1或x=-1负值舍去，
∴ BC=AD=9，AH=32x2=42，
∴ S△ACD=S△ABC=12BC⋅AH=12×9×42=182，
∵ S△ACD=S△AOD+S△AOC=12AC⋅OG+12AD⋅OM=152OM，
∴ 152OM=182，
解得：OM=1225，
∴ S阴=S△ACD-12S圆=182-1212252π=182-144π25．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
B
C
B
B
A
D
B
D
D