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新人教版高中数学必修第二册 期中学业水平检测（含答案）
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这是一份新人教版高中数学必修第二册 期中学业水平检测（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z=(1-2i)i(i为虚数单位),则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.若向量a=(1,2),b=(0,1),ka-b与a+2b共线,则实数k的值为( )
A.-1B.-12C.1D.2
3.已知正△ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为( )
A.62B.34C.3D.68
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=43,b=12,C=π6,则此三角形( )
A.无解B.有两解
C.有一解D.解的个数不确定
5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为26的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为( )
A.45πB.(8+63)π
C.103πD.(10+45)π
6.在平行四边形ABCD中,N为对角线AC上靠近A点的三等分点,连接BN并延长,交AD于M,则MN=( )
A.-13AB+16ADB.14AB-13AD
C.13AB-16ADD.34AB-14AD
7.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )
A.227B.258C.15750D.355113
8.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=33b,且B=2A,则cs 2A等于( )
A.12B.-12C.32D.-32
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.在复平面内,下列说法正确的是( )
A.若复数z=1+i1−i(i为虚数单位),则z30=-1
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0
D.若复数z满足|z|=1,则复数z对应点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆
10.下列叙述错误的是( )
A.已知直线l和平面α,若点A∈l,点B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α
B.若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面
C.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则α内的所有直线与l都不相交
D.若直线l1和l2不平行,且l1⊂α,l2⊂β,α∩β=l,则l至少与l1,l2中的一条相交
11.下列结论正确的是( )
A.若A>B,则sin A>sin B
B.在锐角△ABC中,不等式b2+c2-a2>0恒成立
C.在△ABC中,若C=π4,a2-c2=bc,则△ABC为等腰直角三角形
D.在△ABC中,若b=3,A=60°,S△ABC=33,则△ABC的外接圆半径为33
12.在△ABC中,D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点,则下列说法正确的是( )
A.AB+AC-AD=0
B.DA+EB+FC=0
C.若AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,则BD是BA在BC上的投影向量
D.若P是线段AD上的动点,且满足BP=λBA+μBC,则λμ的最大值为18
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知复数z=3−i1+i(i为虚数单位),则|z|= .
14.已知向量a,b的夹角为30°,|a|=2,|b|=23,则|2a+b|= .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且a2=bc,则basinA的值为 .
16.已知一个高为3的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为23的等边三角形,则三棱锥的表面积为 ,若三棱锥内有一个体积为V的球,则V的最大值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,G为FC的中点,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)证明:AF∥平面BDG;
(2)证明:AB∥EF.
18.(12分)已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根.
(1)求a,b的值;
(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,则在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?并求该图形的面积.
19.(12分)已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)证明:acs B+bcs A=c;
(2)在①2c-bcsB=acsA;②ccs A=2bcs A-acs C;③2a-bcsCcsA=ccsBcsA这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答.
若a=7,b=5, ,求△ABC的周长.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
20.(12分)如图,在三棱锥S-ABC中,SC是高,SC=3,AC⊥BC,AC=BC=2.
(1)求三棱锥S-ABC的体积;
(2)求三棱锥S-ABC的表面积.
21.(12分)如图,四边形ABCD中,AD=2BC.
(1)用AB,AD表示DC;
(2)若∠A=90°,点E在AB上,AE=2EB,点P在DE上,DP=2PE,|EB|=|BC|=1,求cs∠CPD.
22.(12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,AB⊥AC,AB=23.
(1)若∠ABC=30°,CD=3AD,求BD的长;
(2)若AC=2,∠ADB=30°,求sin∠CAD.
答案全解全析
1.A 由已知得z=(1-2i)i=2+i,所以在复平面内z对应的点为(2,1),位于第一象限.
2.B 由已知得ka-b=(k,2k-1),a+2b=(1,4),因为ka-b与a+2b共线,所以4k=2k-1,解得k=-12.
3.D 由已知得△ABC的面积S=34×(2)2=32,所以直观图△A'B'C'的面积为32×24=68.
4.B 由正弦定理可得csinC=bsinB,所以sin B=bsinCc=12sin π643=32,因此B=π3或B=2π3,故此三角形有两解.
5.D 设圆柱的底面半径为R,依题意有R2+222=2622,所以R=5,于是圆柱的表面积S=2π×5×2+2π×(5)2=(10+45)π.
6.C 依题意,△ANM∽△CNB,所以NMBN=AMBC=ANNC=12,所以AM=12BC,NM=12BN,因此MN=-13BM=-13(AM-AB)=-1312AD-AB=13AB-16AD.
7.A 设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥底面圆周长L=2πr,∴r=L2π,∴V=13πr2h=L2h12π.令L2h12π=7264L2h,得π=227.
8.A 因为a=33b,所以sin A=33sin B,即sin A=33sin 2A=233sin Acs A,于是cs A=32,故
cs 2A=2cs 2A-1=12.
9.AD 对于选项A,z=1+i1−i=i,所以z30=i30=(i2)15=(-1)15=-1,故正确;对于选项B,当z2∈R时不一定有z∈R,例如z=i,故错误;对于选项C,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件应是a=0且b≠0,故错误;对于选项D,设复数z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1得x2+y2=1,故复数z对应点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆,故正确.
10.BC 若一条直线上有两点在一个平面内,那么这条直线在平面内,故A选项正确;若三条直线两两相交,则三条直线可确定1个平面或3个平面,故B选项错误;若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则l与α相交,因此α内存在直线与l相交,故C选项错误;若直线l1和l2不平行,且l1⊂α,l2⊂β,α∩β=l,则l至少与l1,l2中的一条相交,故D选项正确.
11.BC A>B⇒sin A>sin B,只有在三角形中才成立,故A选项错误;在锐角△ABC中,每个内角都是锐角,所以A是锐角,于是cs A=b2+c2-a22bc>0,因此b2+c2-a2>0恒成立,故B选项正确;由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcs C,因为C=π4,所以c2=a2+b2-2ab,又a2-c2=bc,所以2ab-b2=bc,即2a-b=c,则a=b+c2,所以b+c22-c2=bc,整理可得b=c,于是B=π4,A=π2,故△ABC为等腰直角三角形,即C选项正确;由b=3,A=60°,S△ABC=33,得33=12×3c×sin 60°,所以c=4,于是a=b2+c2-2bccsA=32+42-2×3×4×12=13,所以△ABC的外接圆直径2R=asinA=1332=2393,所以△ABC的外接圆半径为393,故D选项错误.
12.BCD 由题意得AB+AC-AD=AD≠0,故A选项错误;DA+EB+FC=-12(AB+AC)-12(BA+BC)-12(CA+CB)=0,故B选项正确;设AB|AB|=AM,AC|AC|=AN,则|AM|=|AN|=1,令AB|AB|+AC|AC|=AQ,则四边形AMQN为菱形,又因为AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,所以D在∠BAC的平分线上,于是AB=AC,从而AD⊥BC,所以BD是BA在BC上的投影向量,故C选项正确;由于BP=λBA+μBC=λBA+2μBD,而P在线段AD上,所以λ+2μ=1,故λμ=12λ·2μ≤12·λ+2μ22=18,当且仅当μ=14,λ=12时,λμ取得最大值,为18,故D选项正确.
13.答案 5
解析 由已知得z=3−i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2−4i2=1-2i,于是z=1+2i,故|z|=5.
14.答案 213
解析 |2a+b|=(2a+b)2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×2×23×32+(23)2=213.
15.答案 233
解析 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得a2+b2-c2=ab,所以cs C=12,于是C=60°,又因为a2=bc,所以sin2A=sin B·sin C,于是basinA=sinBsin2A=sinBsinBsinC=1sin60°=233.
16.答案 93;43π27
解析 如图,依题意PD=3,DC=33AB=33×23=2,DM=36AB=36×23=1,于是侧棱长PA=22+(3)2=7,斜高PM=12+(3)2=2,所以三棱锥的表面积S=34×(23)2+3×12×23×2=93.当球与三棱锥相切时,其体积最大,设内切球球心为O,半径为R,作ON⊥PM于点N,则△PON∽△PMD,则有ONMD=POPM,即R1=3-R2,解得R=33,于是V=43π×333=43π27.
17.证明 (1)在平行四边形ABCD中,连接AC交BD于点O,则O为AC的中点,连接OG.(1分)
因为点G为CF的中点,所以OG为△AFC的中位线,所以OG∥AF.(3分)
又AF⊄平面BDG,OG⊂平面BDG,所以AF∥平面BDG.(5分)
(2)因为AB∥CD,AB⊄平面CDEF,CD⊂平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.(7分)
因为AB⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(10分)
18.解析 (1)因为z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i为纯虚数,
所以lg(a2-4a+4)=0,a2-3a+2≠0,即a2-4a+4=1,a2-3a+2≠0,解得a=3,(3分)
此时z0=2i,由根与系数的关系得z0+b=3+2i,z0b=6i,解得b=3.(6分)
(2)复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,即1≤|z|≤32,(7分)
故所求点Z的集合是以原点为圆心,1和32为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.(10分)
其面积S=π[(32)2-12]=17π.(12分)
19.解析 (1)证明:acs B+bcs A
=a·a2+c2-b22ac+b·b2+c2-a22bc=a2+c2-b22c+b2+c2-a22c=2c22c=c=右边,所以等式成立.(4分)
(2)选择①.
由2c-bcsB=acsA可得2ccs A-bcs A=acs B,即2ccs A=bcs A+acs B.
所以2ccs A=c,(6分)
所以cs A=12,所以A=60°.(7分)
又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60°=5sinB,于是sin B=5314,
而a>b,所以A>B,于是cs B=1114,(9分)
从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60°)=5314×12+1114×32=437,(10分)
由正弦定理可得7sin60°=c437,于是c=8,故△ABC的周长为7+5+8=20.(12分)
选择②.由ccs A=2bcs A-acs C可得2bcs A=acs C+ccs A=a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2-a22bc=2b22b=b,(6分)
所以cs A=12,所以A=60°.(7分)
又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60°=5sinB,于是sin B=5314,
而a>b,所以A>B,于是cs B=1114,(9分)
从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60°)=5314×12+1114×32=437,(10分)
由正弦定理可得7sin60°=c437,于是c=8,故△ABC的周长为7+5+8=20.(12分)
选择③.由2a-bcsCcsA=ccsBcsA可得2a=bcsCcsA+ccsBcsA=bcsC+ccsBcsA,
又bcs C+ccs B=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a,所以2a=acsA,(6分)
所以cs A=12,所以A=60°.(7分)
又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60°=5sinB,于是sin B=5314,
而a>b,所以A>B,于是cs B=1114,(9分)
从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60°)=5314×12+1114×32=437,(10分)
由正弦定理可得7sin60°=c437,于是c=8,
故△ABC的周长为7+5+8=20.(12分)
20.解析 (1)因为AC⊥BC,AC=BC=2,所以S△ABC=12AC×BC=12×2×2=2.(2分)
又因为SC是高,且SC=3,所以VS-ABC=13S△ABC·SC=13×2×3=2.(4分)
(2)因为SC是高,SC=3,AC=BC=2,
所以S△SAC=S△SBC=12AC·SC=12×2×3=3,(6分)
SA=SB=32+22=13,AB=22,所以△SAB是等腰三角形,且AB边上的高为(13)2-2222=11,(8分)
所以S△SAB=12×22×11=22,(10分)
由(1)知S△ABC=2,所以三棱锥S-ABC的表面积为3+3+2+22=8+22.(12分)
21.解析 (1)因为AD=2BC,
所以DC=DA+AB+BC=-AD+AB+12AD=-12AD+AB.(3分)
(2)连接CE.因为AD=2BC,AE=2EB,|EB|=|BC|=1,所以|AD|=2,|AE|=2.(5分)
在△ADE中,∠A=90°,AE=AD=2,
所以∠AED=∠ADE=45°,DE=22.
在△BCE中,易知∠B=90°,又BE=BC=1,所以∠BCE=∠BEC=45°,CE=2,
因此∠CEP=90°.(7分)
又因为DP=2PE,所以|DP|=423,|PE|=223.(9分)
在△CEP中,∠CEP=90°,CE=2,PE=223,所以CP=263.因此cs∠CPE=223263=21313.(11分)
又因为∠CPE+∠CPD=π,所以cs∠CPD=-21313.(12分)
22.解析 (1)在Rt△ABC中,AC=AB·tan∠ABC=23·tan 30°=2.
在Rt△ACD中,由于tan∠CAD=CDAD=3,所以∠CAD=60°.(2分)
所以AD=AC·cs∠CAD=2×cs 60°=1.(4分)
又易知∠BAD=∠CAD+∠CAB=60°+90°=150°,
所以在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cs∠BAD=(23)2+12-2×23×1×-32=19,所以BD=19.(6分)
(2)设∠CAD=θ,则AD=2cs θ,因为∠ABD+30°+90°+θ=180°,所以∠ABD=60°-θ.(8分)
在△ABD中,由正弦定理得2csθsin(60°−θ)=23sin30°,
化简得cs θ=32sin θ,代入sin 2θ+cs 2θ=1,得sin2θ=47.(11分)
易知θ为锐角,所以sin θ=277,即sin∠CAD=277.(12分)
1.设复数z=(1-2i)i(i为虚数单位),则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.若向量a=(1,2),b=(0,1),ka-b与a+2b共线,则实数k的值为( )
A.-1B.-12C.1D.2
3.已知正△ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为( )
A.62B.34C.3D.68
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=43,b=12,C=π6,则此三角形( )
A.无解B.有两解
C.有一解D.解的个数不确定
5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为26的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为( )
A.45πB.(8+63)π
C.103πD.(10+45)π
6.在平行四边形ABCD中,N为对角线AC上靠近A点的三等分点,连接BN并延长,交AD于M,则MN=( )
A.-13AB+16ADB.14AB-13AD
C.13AB-16ADD.34AB-14AD
7.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )
A.227B.258C.15750D.355113
8.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=33b,且B=2A,则cs 2A等于( )
A.12B.-12C.32D.-32
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.在复平面内,下列说法正确的是( )
A.若复数z=1+i1−i(i为虚数单位),则z30=-1
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0
D.若复数z满足|z|=1,则复数z对应点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆
10.下列叙述错误的是( )
A.已知直线l和平面α,若点A∈l,点B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α
B.若三条直线两两相交,则三条直线确定一个平面
C.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则α内的所有直线与l都不相交
D.若直线l1和l2不平行,且l1⊂α,l2⊂β,α∩β=l,则l至少与l1,l2中的一条相交
11.下列结论正确的是( )
A.若A>B,则sin A>sin B
B.在锐角△ABC中,不等式b2+c2-a2>0恒成立
C.在△ABC中,若C=π4,a2-c2=bc,则△ABC为等腰直角三角形
D.在△ABC中,若b=3,A=60°,S△ABC=33,则△ABC的外接圆半径为33
12.在△ABC中,D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点,则下列说法正确的是( )
A.AB+AC-AD=0
B.DA+EB+FC=0
C.若AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,则BD是BA在BC上的投影向量
D.若P是线段AD上的动点,且满足BP=λBA+μBC,则λμ的最大值为18
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知复数z=3−i1+i(i为虚数单位),则|z|= .
14.已知向量a,b的夹角为30°,|a|=2,|b|=23,则|2a+b|= .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且a2=bc,则basinA的值为 .
16.已知一个高为3的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为23的等边三角形,则三棱锥的表面积为 ,若三棱锥内有一个体积为V的球,则V的最大值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,G为FC的中点,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)证明:AF∥平面BDG;
(2)证明:AB∥EF.
18.(12分)已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根.
(1)求a,b的值;
(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,则在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?并求该图形的面积.
19.(12分)已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)证明:acs B+bcs A=c;
(2)在①2c-bcsB=acsA;②ccs A=2bcs A-acs C;③2a-bcsCcsA=ccsBcsA这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答.
若a=7,b=5, ,求△ABC的周长.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
20.(12分)如图,在三棱锥S-ABC中,SC是高,SC=3,AC⊥BC,AC=BC=2.
(1)求三棱锥S-ABC的体积;
(2)求三棱锥S-ABC的表面积.
21.(12分)如图,四边形ABCD中,AD=2BC.
(1)用AB,AD表示DC;
(2)若∠A=90°,点E在AB上,AE=2EB,点P在DE上,DP=2PE,|EB|=|BC|=1,求cs∠CPD.
22.(12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,AB⊥AC,AB=23.
(1)若∠ABC=30°,CD=3AD,求BD的长;
(2)若AC=2,∠ADB=30°,求sin∠CAD.
答案全解全析
1.A 由已知得z=(1-2i)i=2+i,所以在复平面内z对应的点为(2,1),位于第一象限.
2.B 由已知得ka-b=(k,2k-1),a+2b=(1,4),因为ka-b与a+2b共线,所以4k=2k-1,解得k=-12.
3.D 由已知得△ABC的面积S=34×(2)2=32,所以直观图△A'B'C'的面积为32×24=68.
4.B 由正弦定理可得csinC=bsinB,所以sin B=bsinCc=12sin π643=32,因此B=π3或B=2π3,故此三角形有两解.
5.D 设圆柱的底面半径为R,依题意有R2+222=2622,所以R=5,于是圆柱的表面积S=2π×5×2+2π×(5)2=(10+45)π.
6.C 依题意,△ANM∽△CNB,所以NMBN=AMBC=ANNC=12,所以AM=12BC,NM=12BN,因此MN=-13BM=-13(AM-AB)=-1312AD-AB=13AB-16AD.
7.A 设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥底面圆周长L=2πr,∴r=L2π,∴V=13πr2h=L2h12π.令L2h12π=7264L2h,得π=227.
8.A 因为a=33b,所以sin A=33sin B,即sin A=33sin 2A=233sin Acs A,于是cs A=32,故
cs 2A=2cs 2A-1=12.
9.AD 对于选项A,z=1+i1−i=i,所以z30=i30=(i2)15=(-1)15=-1,故正确;对于选项B,当z2∈R时不一定有z∈R,例如z=i,故错误;对于选项C,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件应是a=0且b≠0,故错误;对于选项D,设复数z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1得x2+y2=1,故复数z对应点的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆,故正确.
10.BC 若一条直线上有两点在一个平面内,那么这条直线在平面内,故A选项正确;若三条直线两两相交,则三条直线可确定1个平面或3个平面,故B选项错误;若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则l与α相交,因此α内存在直线与l相交,故C选项错误;若直线l1和l2不平行,且l1⊂α,l2⊂β,α∩β=l,则l至少与l1,l2中的一条相交,故D选项正确.
11.BC A>B⇒sin A>sin B,只有在三角形中才成立,故A选项错误;在锐角△ABC中,每个内角都是锐角,所以A是锐角,于是cs A=b2+c2-a22bc>0,因此b2+c2-a2>0恒成立,故B选项正确;由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcs C,因为C=π4,所以c2=a2+b2-2ab,又a2-c2=bc,所以2ab-b2=bc,即2a-b=c,则a=b+c2,所以b+c22-c2=bc,整理可得b=c,于是B=π4,A=π2,故△ABC为等腰直角三角形,即C选项正确;由b=3,A=60°,S△ABC=33,得33=12×3c×sin 60°,所以c=4,于是a=b2+c2-2bccsA=32+42-2×3×4×12=13,所以△ABC的外接圆直径2R=asinA=1332=2393,所以△ABC的外接圆半径为393,故D选项错误.
12.BCD 由题意得AB+AC-AD=AD≠0,故A选项错误;DA+EB+FC=-12(AB+AC)-12(BA+BC)-12(CA+CB)=0,故B选项正确;设AB|AB|=AM,AC|AC|=AN,则|AM|=|AN|=1,令AB|AB|+AC|AC|=AQ,则四边形AMQN为菱形,又因为AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,所以D在∠BAC的平分线上,于是AB=AC,从而AD⊥BC,所以BD是BA在BC上的投影向量,故C选项正确;由于BP=λBA+μBC=λBA+2μBD,而P在线段AD上,所以λ+2μ=1,故λμ=12λ·2μ≤12·λ+2μ22=18,当且仅当μ=14,λ=12时,λμ取得最大值,为18,故D选项正确.
13.答案 5
解析 由已知得z=3−i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2−4i2=1-2i,于是z=1+2i,故|z|=5.
14.答案 213
解析 |2a+b|=(2a+b)2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×2×23×32+(23)2=213.
15.答案 233
解析 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得a2+b2-c2=ab,所以cs C=12,于是C=60°,又因为a2=bc,所以sin2A=sin B·sin C,于是basinA=sinBsin2A=sinBsinBsinC=1sin60°=233.
16.答案 93;43π27
解析 如图,依题意PD=3,DC=33AB=33×23=2,DM=36AB=36×23=1,于是侧棱长PA=22+(3)2=7,斜高PM=12+(3)2=2,所以三棱锥的表面积S=34×(23)2+3×12×23×2=93.当球与三棱锥相切时,其体积最大,设内切球球心为O,半径为R,作ON⊥PM于点N,则△PON∽△PMD,则有ONMD=POPM,即R1=3-R2,解得R=33,于是V=43π×333=43π27.
17.证明 (1)在平行四边形ABCD中,连接AC交BD于点O,则O为AC的中点,连接OG.(1分)
因为点G为CF的中点,所以OG为△AFC的中位线,所以OG∥AF.(3分)
又AF⊄平面BDG,OG⊂平面BDG,所以AF∥平面BDG.(5分)
(2)因为AB∥CD,AB⊄平面CDEF,CD⊂平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.(7分)
因为AB⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(10分)
18.解析 (1)因为z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i为纯虚数,
所以lg(a2-4a+4)=0,a2-3a+2≠0,即a2-4a+4=1,a2-3a+2≠0,解得a=3,(3分)
此时z0=2i,由根与系数的关系得z0+b=3+2i,z0b=6i,解得b=3.(6分)
(2)复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,即1≤|z|≤32,(7分)
故所求点Z的集合是以原点为圆心,1和32为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.(10分)
其面积S=π[(32)2-12]=17π.(12分)
19.解析 (1)证明:acs B+bcs A
=a·a2+c2-b22ac+b·b2+c2-a22bc=a2+c2-b22c+b2+c2-a22c=2c22c=c=右边,所以等式成立.(4分)
(2)选择①.
由2c-bcsB=acsA可得2ccs A-bcs A=acs B,即2ccs A=bcs A+acs B.
所以2ccs A=c,(6分)
所以cs A=12,所以A=60°.(7分)
又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60°=5sinB,于是sin B=5314,
而a>b,所以A>B,于是cs B=1114,(9分)
从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60°)=5314×12+1114×32=437,(10分)
由正弦定理可得7sin60°=c437,于是c=8,故△ABC的周长为7+5+8=20.(12分)
选择②.由ccs A=2bcs A-acs C可得2bcs A=acs C+ccs A=a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2-a22bc=2b22b=b,(6分)
所以cs A=12,所以A=60°.(7分)
又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60°=5sinB,于是sin B=5314,
而a>b,所以A>B,于是cs B=1114,(9分)
从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60°)=5314×12+1114×32=437,(10分)
由正弦定理可得7sin60°=c437,于是c=8,故△ABC的周长为7+5+8=20.(12分)
选择③.由2a-bcsCcsA=ccsBcsA可得2a=bcsCcsA+ccsBcsA=bcsC+ccsBcsA,
又bcs C+ccs B=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a,所以2a=acsA,(6分)
所以cs A=12,所以A=60°.(7分)
又因为a=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60°=5sinB,于是sin B=5314,
而a>b,所以A>B,于是cs B=1114,(9分)
从而sin C=sin(A+B)=sin(B+60°)=5314×12+1114×32=437,(10分)
由正弦定理可得7sin60°=c437,于是c=8,
故△ABC的周长为7+5+8=20.(12分)
20.解析 (1)因为AC⊥BC,AC=BC=2,所以S△ABC=12AC×BC=12×2×2=2.(2分)
又因为SC是高,且SC=3,所以VS-ABC=13S△ABC·SC=13×2×3=2.(4分)
(2)因为SC是高,SC=3,AC=BC=2,
所以S△SAC=S△SBC=12AC·SC=12×2×3=3,(6分)
SA=SB=32+22=13,AB=22,所以△SAB是等腰三角形,且AB边上的高为(13)2-2222=11,(8分)
所以S△SAB=12×22×11=22,(10分)
由(1)知S△ABC=2,所以三棱锥S-ABC的表面积为3+3+2+22=8+22.(12分)
21.解析 (1)因为AD=2BC,
所以DC=DA+AB+BC=-AD+AB+12AD=-12AD+AB.(3分)
(2)连接CE.因为AD=2BC,AE=2EB,|EB|=|BC|=1,所以|AD|=2,|AE|=2.(5分)
在△ADE中,∠A=90°,AE=AD=2,
所以∠AED=∠ADE=45°,DE=22.
在△BCE中,易知∠B=90°,又BE=BC=1,所以∠BCE=∠BEC=45°,CE=2,
因此∠CEP=90°.(7分)
又因为DP=2PE,所以|DP|=423,|PE|=223.(9分)
在△CEP中,∠CEP=90°,CE=2,PE=223,所以CP=263.因此cs∠CPE=223263=21313.(11分)
又因为∠CPE+∠CPD=π,所以cs∠CPD=-21313.(12分)
22.解析 (1)在Rt△ABC中,AC=AB·tan∠ABC=23·tan 30°=2.
在Rt△ACD中,由于tan∠CAD=CDAD=3,所以∠CAD=60°.(2分)
所以AD=AC·cs∠CAD=2×cs 60°=1.(4分)
又易知∠BAD=∠CAD+∠CAB=60°+90°=150°,
所以在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cs∠BAD=(23)2+12-2×23×1×-32=19,所以BD=19.(6分)
(2)设∠CAD=θ,则AD=2cs θ,因为∠ABD+30°+90°+θ=180°,所以∠ABD=60°-θ.(8分)
在△ABD中,由正弦定理得2csθsin(60°−θ)=23sin30°,
化简得cs θ=32sin θ,代入sin 2θ+cs 2θ=1,得sin2θ=47.(11分)
易知θ为锐角,所以sin θ=277,即sin∠CAD=277.(12分)
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