2024年湖北省武汉市华中科大附中高考数学模拟试卷-普通用卷

这是一份2024年湖北省武汉市华中科大附中高考数学模拟试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.5(1+i3)(2+i)(2−i)=( )
A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i
2.设全集U=R，集合A={x|10，且a≠1，函数f(x)=3a−x,x>2|ax−a|,x≤2，若关于x的方程f(x)=1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,1+ 52)C. (1,1+ 52]D. (1, 5]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下列推断正确的是( )
A. 这200名学生阅读量的平均数大于25本
B. 这200名学生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内
C. 这200名学生中的初中生阅读量的75%分位数可能在区间[20,30)内
D. 这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数一定在区间[20,30)内
10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆O：x2+y2=1上两点，则下列结论正确的是( )
A. 若点O到直线AB的距离为，则|AB|= 3
B. 若△AOB的面积为 34，则∠AOB=
C. 若x1x2+y1y2=，则点O到直线AB的距离为 32
D. |x1+y1−1|的最大值为 2+1，最小值为 2−1
11.某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时( )
A. 甲队积分为9分的概率为127
B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为2243
D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为8243
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的部分图像如图所示，f(x)在区间(π,4π3)内单调递减，则ω的最大值为______.
13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2，则V甲V乙=__________.
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=3，BC=6，AB=AC=3 2，P为线段A1B1上的一点，且二面角A−BC−P的正切值为3，则三棱锥A−A1C1P的外接球的体积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acsC=b−a.
(1)证明：C=2A；
(2)若CD为∠ACB的角平分线，交AB于D点，且CD= 3,S△ACD= 2.求a的值.
16.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P−ABCE中，AB=1，BC=2，BE=2 2，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC
(1)证明：AB⊥BC；
(2)若PA=2 2，且AC=AE，G为△PCE的重心.求直线CG与平面PBC所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=eax−1x+lnx，a∈R.
(1)当a=1时，求函数f(x)−x的最小值；
(2)若函数f(x)x的最小值为a，求a的最大值.
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，且点A(2,1)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M.N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值.
19.(本小题17分)
数列{an}，{bn}满足：{bn}是等比数列，b1=2，a2=5，且a1b1+a2b2+…+anbn=2(an−3)bn+8(n∈N*).
(1)求an，bn；
(2)求集合A={x|(x−ai)(x−bi)=0,i≤2n,i∈N*}中所有元素的和；
(3)对数列{cn}，若存在互不相等的正整数k，…，kj(j≥2)，使得ck1+ck2+…+ckj也是数列{cn}中的项，则称数列{cn}是“和稳定数列”.试分别判断数列{an}，{bn}是否是“和稳定数列”.若是，求出所有j的值；若不是，说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：i3=i2⋅i=−i，
则5(1+i3)(2+i)(2−i)=5(1−i)5=1−i.
故选：C.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：解对数不等式lg2x≤1得：00)，
因为a9=a8+2a7，所以q2a7=qa7+2a7，即q2=q+2，得q=2.
所以am⋅ana12=2m−1a1⋅2n−1a1a12=2m+n−2.
因为9m+1n=2，
所以m+n=12(9m+1n)(m+n)=12(9+9nm+mn+1)≥12(10+2 9nm×mn)=8，
当且仅当n=2，m=6时等号成立，
所以am⋅ana12=2m+n−2≥26=64.
故选：B.
判断{an}为等比数列并求{an}的公比，再化简am⋅ana12，最后利用基本不等式求m+n的最小值，代入即可得解．
本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：含x4y2的项为T=1×C62x4y2−2xy×C63x3y3=−25x4y2，
所以展开式中x4y2的系数为−25.
故选：D.
根据(x+y)6展开式的通项公式进行计算即可．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于一般题．
先判断函数的奇偶性，再判断函数的值变化趋势即可求出．
【解答】
解：f(x)=cs(x−π2)ln(ex+e−x)=sinxln(ex+e−x)，
f(−x)=sinx(−x)ln(e−x+ex)=−sinxln(ex+e−x)=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，
∵y=ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当x=0时取等号，
∴ln(ex+e−x)≥ln2>ln1=0，
当x∈[0,π)时，sinx≥0，当x∈[π,2π)时，sinx≤0，
∴当x∈[0,π)时，f(x)≥0，当x∈[π,2π)时，f(x)≤0，故排除AB，
故选：C.
7.【答案】D
【解析】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,4)，
所以16=4p，解得：p=4，所以y2=8x，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直线MN：x=ty+m，代入y2=8x中整理得y2−8ty−8m=0，
所以y1+y2=8t，y1y2=−8m，
所以kAM+kAN=y1−4x1−2+y2−4x2−2=y1−4y128−2+y2−4y228−2=8y1+4+8y2+4=8(y2+4)+8(y1+4)(y1+4)(y2+4)=0，即y1+y2+8=0，
则y1+y2+8=8t+8=0，解得：t=−1，
所以直线MN：x+y−m=0，
直线l的斜率为−1，且过C的焦点F(2,0)，
所以l：x+y−2=0，则A(2,4)到直线l的距离为d=|2+4−2| 2=2 2，
所以l把△AMN分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，
所以A(2,4)到直线l：x+y−2=0的距离为A(2,4)到直线MN：x+y−m=0距离的 22，2 2= 22⋅|2+4−m| 2，解得：m=6−4 2或m=6+4 2(舍去).
所以直线MN的方程为x+y+4 2−6=0.
故选：D.
由题意求出抛物线方程为y2=8x，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN：x=ty+m，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由kAM+kAN=0，可求出t=−1，再求出直线l的方程，由题意可转化为A(2,4)到直线l：x+y−2=0的距离为A(2,4)到直线MN：x+y−m=0距离的 22，代入求解即可得出答案．
本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：当0