2023-2024学年福建省南平高级中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年福建省南平高级中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=m+1+(m−1)i(m∈Z)对应的点在第四象限，则m的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. ±1
2.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于( )
A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘
3.若|a+b|=|a−b|,a=(1,2),b=(m,3)，则实数m=( )
A. 6B. −6C. 3D. −3
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
，则此三角形( )
A. 无解B. 一解C. 两解D. 解的个数不确定
5.在菱形ABCD中，若|AB−AD|=|AB|且AD在AB上的投影向量为λAB，则λ=( )
A. −12B. 12C. − 22D. 22
6.平面α与平面β平行的充分条件可以是( )
A. α内有无穷多条直线都与β平行
B. 直线a//α，a//β，且a⊄α，a⊄β
C. α内的任何一条直线都与β平行
D. 直线a⊂α，直线b⊂β，且a//β，b//α
7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC=b，则A=( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若5csB−8csC8c−5b=csAa，又△ABC的面积S=10 3，且B+C=2A，则AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=( )
A. 64B. 84C. −69D. −89
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列等式中一定成立的是( )
A. acsB=bcsA
B. acsB+bcsA=c
C. 2sinAsinBcsC=sin2A+sin2B−sin2C
D. csBcsA+csC=ab
10.已知点M是△ABC的重心，点A(1,2)，B(2,3)，C(−2,5)，点D是BC上靠近点B的三等分点，则( )
A. M(13,103)B. D(23,113)
C. ⟨MD,AC⟩=π3D. |3MD−AC|=2 6
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有( )
A. 该半正多面体的体积为5 23
B. 该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为3 32
C. 该半正多面体外接球的表面积为8π
D. 该半正多面体的表面积为6+2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图是梯形ABCD按照斜二测画出的直观图A′B′C′D′，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则原梯形ABCD的面积为______.
13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r=______.
14.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2 3，AC=3CF，△AA1B与△A1B1B为正三角形，动点Q为侧面四边形ABB1A1内一点，若B1C//平面A1QF，则动点Q运动轨迹长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+i，z=(m2+m−6)+(m2−3m+2)i(m∈R).
(1)当m取何值时，z为纯虚数？
(2)当m=3时，求|z⋅z1|的值.
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，D是AB的中点，BE=13BC.
(1)若AC=2BC=2，∠ACB=60∘，求|CD|；
(2)若CO=λCD，求λ的值.
17.(本小题15分)
如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45∘方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东15∘方向.
(1)求点D到塔底B的距离BD；
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30∘，求铁塔高AB.
18.(本小题17分)
如图，已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E为侧棱SC的中点.
(1)求证：SA//平面EDB；
(2)求三棱锥E−ABD的体积.
(3)若F为侧棱AB的中点，求证：EF//平面SAD.
19.(本小题17分)
在① 3a−bsinC= 3ccsB，②cs2B2=2a−b+2c4c，③sin2A−cs2B+cs2C=sinAsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知_____.
(1)求角C；
(2)若c=1，△ABC的面积S∈(0, 312)，求△ABC的周长l的取值范围；
(3)若 2c= 3b，CA= 3CD，求tan∠ABD.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意，m+1>0，m−1