专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型（学生版）

这是一份专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型（学生版），共9页。

【模型1】“8字”模型
如图，已知AC与BD相交于点O，连接AD，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；根据三角形两边之和大于第三边，可得。
【模型变式1】
如图已知BD与AC相交于点O，点E在OA上，连接AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。
【模型变式2】
如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。
【模型2】“燕尾”型
如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得
。
【模型变式1】
如图在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AE，BF，CD相交于点O。可得：
①：
②
③
【证明】如图，分别过点B，点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。
在中，；
在和中,；；
∽
同理可证：；
【例1】如图，，，，，求和的度数．
【例2】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________；
(2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：
①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个；
②若，试求的度数；
③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；
④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
4．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为
A．B．C．D．
5．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
6．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90°B．360°C．180°D．无法确定
二、填空题
7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
8．如图，______°．
9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
三、解答题
11．如图所示，已知四边形，求证．
12．如图，、分别平分和，若，，求的度数.
13．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
14．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
15．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
16．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．