专题05 三角形中的角平分线模型（学生版）

这是一份专题05 三角形中的角平分线模型（学生版），共8页。
【模型1】如图，已知OP平分，过点P作,；可根据角平分线性质证得≌，从而可得，。
【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法
【辅助线作法一】
如图，已知OP平分，点C是OA上的一点，通常情况下，在OB上取一点D，使得，连接PD，结合，，可证得≌。从而可得，，
。
【辅助线作法二】
如图，已知OP平分，，通常情况下，延长CP交OB于点D，结合，，，可证得≌。从而可得，，。
【辅助线作法三】
如图，已知OP平分，通常情况下，过点P作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等；
结合，从而可得，。
【例1】如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F为OC上另一点，连接DF，EF，则下列结论：①OD＝OE；②DF＝FE； ③∠DFO＝∠EFO；④S△DFP＝S△EFP，正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．
【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则，下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图2，过C作CEDA，交BA的延长线于E．…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）
一、单选题
1．如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E， 若AB=5，BC=3，则EC的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．4
3．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
7．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形．
8．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长为________．
9．如图，在中，的平分线交AB于点D，于点E．F为BC上一点，若，，则的面积为______．
10．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ___．
12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号）
三、解答题
13．如图，AC＝BC，∠1＝∠2，求证：OD平分∠AOB．
14．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长．
15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：
(1)△CED是等腰三角形；
(2)BD+AD=BC．
16．如图，AD为△ABC的角平分线．
(1)如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．则BE=_______．
(2)如图2，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）
(3)如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．
17．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，．
【思考说理】
（1）求证：．
【反思提升】
（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．
18．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．