专题16 一线三等角相似模型（学生版）

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【模型1】一线三锐角相等
如图16-1，已知，要证∽，可根据，
，，结合，可证∽。
【模型变式1】一线三直角
如图16-2，已知，同一线三锐角相等模型可证得：∽。
【模型变式2】一线三钝角相等
如图16-3，已知，同一线三锐角相等模型可证得：∽。
【例1】如图，将含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其余角的顶点分别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则的值是( )
A．B．C．D．
【例2】如图，在正方形ABCD中，AB=12，AE=0.25AB，点P在BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为______
【例3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
(1)求证：△ECD∽△ABE；
(2)求证：⊙O与AD相切；
(3)若BC＝12，AB＝6，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
一、单选题
1．如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，矩形ABCD，E在CD上，连接BE，将四边形ABED沿BE翻折得到四边形，若恰好经过点C，，，则线段BE的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM=______．
8．如图，正方形的边长为8，是边上一动点（与，不重合），连接．是延长线上一点，过点作的垂线交的平分线于点，则面积的最大值是 __．
9．如图，正方形ABCD中，，，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为___．
10．如图，在矩形中，为边上的一点，将沿翻折，得到，且在边上，为边上的一点，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，若，，平分，则的长度为______．
三、解答题
11．如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，求的长．
12．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE，求证BE=2EF．
13．如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．
14．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC
15．如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点．
(1)求证：∽；
(2)当时，求的长；
(3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
16．如图，四边形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，DE，且AE⊥DE．
(1)求证：；
(2)若，，，求的值．
17．如图，，，P为AB上一点，，连接CD．
(1)若，求BD的长；
(2)若CP平分，求证：．
18．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ；
(2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．