古田县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份古田县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点为( )
A.B.C.D.
2．若函数在处的导数等于a，则的值为( )
A.aB.C.D.
3．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是( )
A.B.2C.D.3
4．设函数的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为中点，则的形状为（ ）
A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
6．已知函数，，则的最大值为（ ）
A.B.0C.πD.
7．如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知是函数导数，且，，，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，G是的重心，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.在上的投影向量为D.
11．已知函数，恰好存在4个不同的正数，，，使得，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，已知两点，，则____________.
13．写出一个同时具有下列性质①②的函数：________.
①；②.
14．设函数在，处取得极值，且，当时，最大值记为M，对于任意的b，M的最小值为_____________.
四、解答题
15．已知平行六面体，，.
（1）求的长度；
（2）求异面直线与BC所成角的余弦值.
16．已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）设，求过点的切线方程.
17．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围.
18．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园.如图所示，O为圆心，半径为1千米，点A、B、P都在半圆弧上，设，，其中.
（1）若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
（2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大.
19．若时，函数取得极大值或极小值，则称m为函数的极值点.已知函数，，其中a为正实数.
（1）若函数有极值点，求a的取值范围；
（2）当，和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点为.
故选：B.
2．答案：D
解析：由已知得.故选D.
3．答案：C
解析：由图可知：，，，
由中点坐标公式可得的中点坐标为，
根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.
故选：C.
4．答案：B
解析：函数，由，得，则点，
由，求导得，则，于是，
所以该曲线在点P处的切线方程为.
故选：B.
5．答案：C
解析：，，，，，两两互相垂直，
，，平面，
平面，平面，
，为直角三角形.
故选：C.
6．答案：C
解析：，令，得，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
又，，则.
故选：C.
7．答案：C
解析：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为，
则三棱柱形容器容积，
求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，.
故选：C.
8．答案：D
解析：设，因为，所以，
对函数求导，得，因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
因此由.
故选：D.
9．答案：BC
解析：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
10．答案：AB
解析：如图，取DC的中点M，连接AM，BM，
，，，，平面，
平面，平面，，故A正确；
取BD的中点H，连接HE，HF，则，，，，
，即，又，，，
，故B正确；
由B知，在上的投影向量为，故C不正确；
，故D不正确，
故选：AB.
11．答案：AD
解析：令函数，，
依题意，恰有4个正实根，即直线与函数的图象恰有4个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，
显然当时，直线与函数的图象有一个交点，，
当时，直线与函数的图象有两个交点，，
当时，直线与函数的图象有唯一公共点，，
此时直线必为曲线在点处的切线，
由求导得，由，得，即，
因此，而当时，，则，C错误，D正确；
令，，求导得，函数在上递减，
而，则当时，，，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递减，
因此，A正确，B错误.
故选：AD.
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一，，）
解析：由①，设，
则，，
由，得，解得，于是，
求导得，由②，得，取，.
故答案为：.
14．答案：2
解析：由已知得有两个不同实数根，，
可得，，，
则，
可得，，
令，解得或；令，解得；
易知在和上单调递增，在上单调递减，
故当时，上单调递减，上单调递增，
而，
当，即时，，
当时，，
当时，，
当时，，
显然对于，当时，.
故答案为：2.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意易知，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
即.
（2）由（1）可知，
所以异面直线与BC所成角的余弦值为.
16．答案：（1）1
（2）
解析：（1）定义域为，，
而，而已知，可得，
解得，故a的值为1.
（2），设切点为，设切线斜率为k，
而，故切线方程为，
将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，
故切线方程.
17．答案：（1）单调递增区间为：和，单调递减区间为：
（2）或
解析：（1）当时，，定义域为，
，
令，得或，
所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：.
（2），
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去.
②当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符.
③当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符.
④当时，，
故在上单调递增，无极值点，舍去.
⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去.
综上可得：或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）如下图，连接，则，
半圆的半径，在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
由二次函数性质可知，当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
（2）由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，S单调递增，当时，S单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
19．答案：（1）
（2）①答案见解析；②证明见解析
解析：（1）在上有变号零点，
即在上有变号零点.
①若，即时，只需矛盾，
②若，即时，只需故a的取值范围为.
（2）①，
先证右边，证，令，，
证：，令，
，
在上单调递增，，
再证左边证：，令证，，
令，，
在上单调递减，，证毕.
②时，，关于a单调递减
，
设，，
当时，，；
当时，，，
在上单调递增，上单调递减，，
所以当时，.