河北省保定市九县一中2024届高三下学期五月适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市九县一中2024届高三下学期五月适应性考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知P是椭圆E：上一点，，分别为E的左、右焦点，则( )
A.8B.6C.4D.3
2．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
3．若复数z满足，则实数( )
A.B.C.D.
4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.B.C.D.
5．某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有( )
A.240种B.360种C.720种D.2002种
6．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.B.C.D.
7．设是公差为3的等差数列，且，若，则( )
A.21B.25C.27D.31
8．如图，在长方体中，，，M是上一点，且，则四棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若一组数据14，17，11，9，12，15，m，8，10，7的第65百分位数为12，则m的值可能为( )
A.8B.10C.13D.14
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，若，且，则( )
A.B.
C.C的离心率为D.直线的斜率为
11．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三、填空题
12．已知向量，，若，则______.
13．已知S为圆锥的顶点，为该圆锥底面的一条直径，若该圆锥的侧面积为底面积的3倍，则______.
14．定义在R上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为______.
四、解答题
15．行人闯红灯对自己和他人都可能造成极大的危害，某路口监控设备连续5个月抓拍到行人闯红灯的统计数据如下.
（1）根据表中的数据，求y关于x的回归直线方程；
（2）某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人闯红灯，以这200名行人闯红灯的频率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记闯红灯的行人人数为X，求.
附：回归直线方程中，，.
16．如图，在四棱锥中，，，侧面是边长为8的等边三角形，，.
（1）证明：平面.
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若恒成立，求a的取值集合.
18．已知拨物线：上一点到坐标原点O的距离为.过点且斜率为的直线l与C相交于A，B两点，分别过A，B两点作l的垂线，并与y轴相交于M，N两点.
（1）求C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若，记，的面积分别为，，求的取值范围.
19．对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵A对应的行列式记为，且，方阵A与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
（1）证明：.
（2）若方阵A，B满足，且，，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：由椭圆的定义可知，.
2．答案：D
解析：因为，所以.
3．答案：B
解析：设，则，所以.由，得，则，所以解得.
4．答案：C
解析：由题可知，.
5．答案：B
解析：根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种.
6．答案：C
解析：由，得，则，，所以曲线在点处的切线方程为.令，得，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
7．答案：D
解析：由，得，则，从而.
8．答案：A
解析：在长方体中，平面，因为平面，所以.又，，所以平面，则.由，，得，则点M到平面的距离，故四棱锥的体积.
9．答案：AB
解析：将这组数据除去m后，按从小到大的顺序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17.因为，所以.故选AB.
10．答案：ACD
解析：如图，由，可设，.因为，所以.设，，则，，，解得，则，，所以，.在中，由，得，则，从而C的离心率为.又，所以直线的斜率为.故选ACD.
11．答案：AC
解析：若，则，从而，则，即.令，则，在上单调递增，所以，即，则，即，A正确.若，，则，不符合题意，若，，则，不符合题意，若，，则，，所以，，，符合题意，此时，B不正确.若，，则，即.令，则，当时，，不符合题意，当时，，单调递增，由，，可得，则.若，则不妨设，若，则，此时，不符合题意，若，则，此时，不符合题意，若，则，此时，符合题意，则，C正确.若，则，则在上单调递增，则，即.令，显然在上单调递增，因为，所以由，可知，其中，且，D不正确.
12．答案：
解析：因为，所以，解得.
13．答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，所以.在中，由余弦定理知.
14．答案：4
解析：因为函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，所以，，则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，所以，则，故函数是周期为8的周期函数.根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（图略），可知与的图象在上有4个交点.
15．答案：（1）
（2）200
解析：（1），，
则，
所以，
故y关于x的回归直线方程为.
（2）由题可知，每名行人通过该路口闯红灯的概率，
则，
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：过点E作，并与相交于点F，连接.
因为，所以，
则.
因为，所以.
又，所以四边形为平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点O，连接.
因为侧面是等边三角形，所以.
又平面平面，平面平面，
所以平面，
故以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，所以，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
由得
令，得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
解析：（1）由，得，定义域为，则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，，得.
若，则显然，不符合题意.
若，令，解得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
当，即时，由，
可得当时，，不符合题意.
当，即时，由，
可得当时，，不符合题意.
当，即时，可知在上单调递增，在上单调递减，则，符合题意.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题可知
解得
故C的方程为.
（2）由题意得l的方程为，设，.
联立方程组消去y整理得，
则，.
因为，，所以，所以.
又，所以，则，
又，所以
则.
（3）根据对称性，不妨令.
由（2）中，，得直线的方程为，
令，得.
同理可得，
则，，
且，，
故
.
令，则，
显然在上恒成立，所以在上单调递增.
由，，可得的取值范围为.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：设方阵，则，
，
，
，
则，
所以
.
因为，所以，证毕.
（2）证明：设，，则由，
可得，①
，②
，③
，④
由①×④，得，⑤
由②×③，得，⑥
由⑤-⑥，可得，
整理得，
即.
由，可得或
则.
又，所以，证毕.
月份序号x
1
2
3
4
5
闯红灯人数y
1040
980
860
770
700