初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组同步达标检测题

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应用1：列方程组解古算术问题
【例题1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解．
【答案】，
【分析】本题考查了列二元一次方程组，解方程组，根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组，根据加减消元法求解即可．
【详解】
解：，表示的方程是，
故答案为：；
由，可得，
解得
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的解是
【变式1】．（2024七年级下·江苏·专题练习）古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？
【答案】鸡有23只，兔有12只
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设鸡有只，兔有只，根据鸡、兔共有35个头、94只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，
依题意得：，
解得：，
答：鸡有23只，兔有12只．
【变式2】．（2024七年级下·江苏·专题练习）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？
【答案】鸡有23只，兔有12只
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用；根据总头数和总脚数得到两个等量关系是解决本题的关键．
设鸡有只，兔有只，根据：鸡的头数兔的头数；鸡的头数兔的头数，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，
由题意得：，
解得．
答：鸡有23只，兔有12只．
【变式3】．（23-24七年级·全国·课后作业）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”请用二元一次方程组解决这个问题．
【答案】每头牛值金两，每只羊值金
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两．
依题意得：，
解得：
答：每头牛值金两，每只羊值金两．
【变式4】．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？上述“雉兔同笼”问题中，鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡和兔各有23只，12只
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设鸡有x只，兔有y只，根据共有三十五头可得方程，根据共有九十四足，可得方程，据此列出方程组求解即可．
【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得，，
解得，
答：鸡和兔各有23只，12只．
【变式5】．（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子
(2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）设购买头牛，只羊，
依题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
为的倍数，
羊的数量不少于牛数量的倍，
，
或，
商人有种购买方法：
购买头牛，只羊；
购买头牛，只羊．
应用2：列方程组与不等式解工程问题
【例题2】（2023春•襄汾县期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米．
（1）求甲、乙两工程队每天各施工多少米？
（2）现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？
【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据“甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程；甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙工程队每天应再多施工米，根据要在12天内完成该项工程，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，
根据题意得：，
解得：．
答：甲工程队每天施工50米，乙工程队每天施工40米；
（2）设乙工程队每天应再多施工米，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为40．
答：乙工程队每天至少应再多施工40米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式1】．（2023春•梁平区期末）某玩具厂接到一笔1500盒积木的订单，需要在15天内完成，已知该种积木每盒里都有4个正方体积木和4个半圆形积木．玩具厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方体积木或6个半圆形积木，但每人一天只能加工一种积木，玩具厂每天加工的正方体积木和半圆形积木数量正好全部配套（一样多）．
（1）玩具厂每天能生产多少盒积木？
（2）为了能在规定期限内完成订单，玩具厂决定从其他车间调来名工人帮忙，新调来的工人由于工作不熟练，只会加工正方体积木，且每人每天只能加工6个，为了确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，重新对100名熟练工进行分工．若要在规定时间内完成订单，求的最小值．
【分析】（1）每天安排名工人生产半圆形积木，根据生产的积木每人每天生产的数量人数，结合每盒产品有4个正方体积木和4个半圆形积木，即可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出结论；
（2）可设原100名熟练工中负责生产正方体积木的人数为人，根据题意可列出相应的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设每天安排名工人生产正方体积木，则每天安排名工人生产半圆形积木，依题意得：
，
解得：，
则玩具厂每天能生产的积木数为：（盒，
答：玩具厂每天能生产90盒积木；
（2）设原100名熟练工中负责生产正方体积木的人数为人，依题意得：
，
解得：，
此时该厂每天生产 个正方体积木，
故此时该厂每天生产 盒积木，
由题意可得：，
解得：，
确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，
必须为整数，
故是5的倍数，
不小于 且是5的倍数的最小整数值为20，
最小值为20．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程及二元一次方程组．
【变式2】．（2022春•丹江口市期末）“十淅高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长90公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成．
（1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
（2）已知甲队每月施工费用为12万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过130万元，工程必须在10个月内竣工．为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数）分工合作的方式施工，请你设计施工费用最低的施工方案．
【分析】（1）设甲队每月的施工路段是公里，乙队每月的施工路段是公里，依据“某施工路段总长90公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成”列出方程组并解答；
（2）根据费用不超过130万元列出一元一次不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲队每月的施工路段是公里，乙队每月的施工路段是公里，
依题意得，
解得．
答：甲队每月的施工路段是9公里，乙队每月的施工路段是6公里．
（2）根据题意，
解得：，．
又，且，都为正整数，
为3的倍数，
，3，6，9．
当时，，此时施工费用为（元；
当时，，此时施工费用为（元；
当时，，此时施工费用为（元；
当时，，此时施工费用为（元；
方案为甲队做10个月，乙队做0个月，施工费用最低，为120万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题时，可把总工程量看作“1”．此题主要考查列方程（组解应用题中的工程问题．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元．
(1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元?
(2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低．
【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元
(2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低
【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解．
（1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解；
（2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，
依题意列方程得：，
解得：，
答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元；
（2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天，
单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天，
设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，
根据题意得：，
解得：，
则总费用为：，
当时，总费用最少，为（万元），
答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低
应用3：列方程组与不等式解购物问题
【例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）我们度过了寒冬，迎来了充满希望的春天，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，7.1班想集体购买跳绳和毽子、第一次买20条跳绳和30个毽子共花了590元，第二次又买了10条跳绳和10个毽子共花了260元．请回答下面的两个问题：
(1)求跳绳和毽子的单价是多少元？
(2)若7.9班也打算购买同样的跳绳和毽子共50个，且总花费不超过600元，问7.9班的跳绳最多买多少条？
【答案】(1)跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元；
(2)7.9班的跳绳最多买20条．
【分析】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，然后找出两个等量关系：20根跳绳的钱数+ 30个毽子的钱数=590元；10根跳绳的钱数+10个毽子的钱数=260元．根据这两个等量关系可列出方程组，解方程组即可；
（2）设7.9班购买m条跳绳，则购买个毽子，根据总花费不超过600元列不等式，求出m的值，最后取m的最大整数值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等量关系是解题的关键．
【详解】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元；
（2）设7.9班购买m条跳绳，则购买个毽子，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20．
答：7.9班的跳绳最多买20条
【变式1】．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
(1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
【答案】(1)购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
(2)该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，根据“若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，根据购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍且乙种乒乓球数量不少于23个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
【详解】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：，解得：．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，
依题意，得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以取23，24，25，
∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
【变式2】．（21-22七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，求最多能买多少个甲种书柜．
【答案】(1)甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元
(2)10个
【分析】（1）等量关系式：购买甲种书柜3个的费用购买乙种书柜2个的费用元，购买甲种书柜个的费用购买乙种书柜的费用元，据此列方程组，即可求解；
（2）不等关系式：乙种书柜的数量甲种书柜的数量，购买甲种书柜的费用购买乙种书柜的费用元，据此列出不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解得，
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买()个，
由题意得，
解得∶，
最多能买10个甲种书柜．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
【变式3】．（21-22七年级下·山西忻州·阶段练习）为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元
(2)三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）等量关系式：购买A型公交车1辆的费用购买B型公交车2辆的费用400万元，购买A型公交车2辆的费用B型公交车1辆的费用共需350万元；据此列出方程组，即可求解；
（2）不等关系式：购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用1200万元，A型公交车的载客量B型公交车的载客量680万人次；据此列出不等式组，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，
由题意得，
解得，
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）解：设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，
由题意得，
解得：，
因为a是整数，
所以取、、；
则取、、．
三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【变式4】．（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元
(2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根
(3)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元
【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得：，
答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元．
（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
∵，
∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
【变式5】．（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）为奖励在“数学知识竞赛”中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需340元，购买5篮球和5个足球共需700元．
(1)求篮球和足球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买篮球和足球的总费用不超过1440元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是60元
(2)12个
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个足球共需340元，购买5篮球和5个足球共需700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m个篮球，则购买个足球，利用总价＝单价数量，结合总价不超过1440元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元；
（2）设学校购买m个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：学校最多可以购买12个篮球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式6】．（21-22七年级下·辽宁盘锦·期末）某校在商场购买了两种品牌的足球，已知购买4个A品牌的足球和6个B品牌的足球共需620元；购买6个A品牌的足球和8个B品牌的足球共需860元．
(1)求两种品牌的足球的单价；
(2)该校决定再次购买两种品牌的足球共50个，恰逢该商场对足球的售价进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高了，若此次购买两种足球的总费用不超过3100元，那么这所学校最多可购买多少个B品牌的足球？
【答案】(1)A种品牌的足球的单价为50元，B种品牌的足球的单价为70元
(2)这所学校最多可购买23个B品牌的足球
【分析】（1）设A种品牌的足球的单价为x元，B种品牌的足球的单价为y元，根据题意列出方程组即可．
（2）设这所学校再次购买n个B品牌的足球，利用购买A、B两种足球的总费用不超过3100元，得出不等式即可求出答案．
【详解】（1）解：设A种品牌的足球的单价为x元，B种品牌的足球的单价为y元，根据题意，得：，
解得：，
答：A种品牌的足球的单价为50元，B种品牌的足球的单价为70元．
（2）设这所学校再次购买n个B品牌的足球，
根据题意，得：，
解得，，
由于n为正整数，
答：这所学校最多可购买23个B品牌的足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出一元一次不等式是解题的关键．
应用4：列方程组与不等式（组）解方案问题
【例题4】（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元
(2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根
(3)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元
【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得：，
答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元．
（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
∵，
∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键
【变式1】．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元．
(1)根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱；
(2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)购买个篮球和个足球需要元；
(2)有种购买方案，方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球
【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）设购买个篮球，则购买个足球，根据“购进篮球不少于个，且总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
答：购买个篮球和个足球需要元；
（2）设购买个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，，
共有种购买方案，
方案：购买个篮球，个足球；
方案：购买个篮球，个足球；
方案：购买个篮球，个足球；
方案：购买个篮球，个足球．
【变式2】．（22-23七年级下·广西河池·期末）为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．
(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
(2)该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？
【答案】(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；
(2)改造类学校所，改造类学校所．
【分析】（）根据等量关系列出方程组，再解即可；
（）列出不等式组，再解即可；
此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
【详解】（1）解：设改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元，
由题意得：，
解得，
答：改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；
（2）设改造类学校所，则改造类学校所，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴，
∴，
故改造类学校所，改造类学校所．
【变式3】．（22-23七年级下·内蒙古通辽·期末）在疫情期间，重庆某医药公司往武汉运送医药物资，若用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨根据以上信息，解答下列问题：
(1)通过列方程组求出：辆型车辆和辆型车辆都装满物资一次分别运多少吨？
(2)该医药公司准备将一批医药物资一次性运输至武汉，于是从租车公司租用了和两种型号车辆共辆，其中型车辆每辆要付费元，型车辆每辆要付费元，若付费总金额不超过元，且物资不少于吨，请问怎么安排车辆总费用最少？
【答案】(1)辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨
(2)当安排辆型车，辆型车时，总费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
（1）设辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨，根据“用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排辆型车，则安排辆型车，根据“付费总金额不超过元，且物资不少于吨”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨，
根据题意得：，
解得：．
答：辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨；
（2）解：设安排辆型车，则安排辆型车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，
共有种租车方案，
方案：安排辆型车，辆型车，所需总费用为；（元） ；
方案：安排辆型车，辆型车，所需总费用为（元）．
∵，
当安排辆型车，辆型车时，总费用最少．
【变式4】．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著与本动漫书的费用一样（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在（）的条件下，若学校实际购买时，文学名著单价上调元本，动漫书单价下调了元本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值为_____．
【答案】(1)每本文学名著元，每本动漫书为元；
(2)文学名著本，则动漫书本；文学名著本，则动漫书本，文学名著本，则动漫书本；文学名著本，则动漫书本；
(3)．
【分析】（）每本文学名著和动漫书分别为，元，根据等量关系列出二元一次方程组，再解即可；
（）设购买文学名著本，则动漫书本，列出不等式，再解即可；
（）由每本文学名著和动漫书分别为元，元，列出不等式，再解即可；
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
【详解】（1）每本文学名著和动漫书分别为，元，
根据题意，得：，解得：，
答：每本文学名著元，每本动漫书为元；
（2）设购买文学名著本，则动漫书本，
由题意得，解得：，
∵为正整数，
∴有四种方案：
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
（3）上调后每本文学名著和动漫书分别为元，元，
根据题意得，
∵，
∴，
由（）得：
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
由，
∴的值为．
【变式5】．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．
(1)若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？
(2)若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？
【答案】(1)36个
(2)商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，找准不等关系，正确列出不等式以及不等式组是解此题的关键．
（1）设学校购买篮球个，排球个，根据“总费用不超过8640元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
（2）设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，根据“商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的”列出一元一次不等式组，解不等式组得出，再根据为整数，即可得出答案．
【详解】（1）解：设学校购买篮球个，排球个，
依题意得：，
解得，
答：学校最多可购买篮球36个．
（2）解：设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，
依题意得：，
解得：，
因为为整数，
所以，59，60，
所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个．