数学：上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复数范围内，的所有平方根为______.
【答案】或
【解析】设，
则，
由可得，，
由可得，或，
当时，有，解得，；
当时，有，显然不成立，
综上所述，.
故答案为：或.
2. 若幂函数为奇函数，则该函数的表达式______.
【答案】
【解析】由为幂函数，
得，解得或，
当时，，函数是偶函数，不符合题意，
当时，，函数是奇函数，符合题意，
所以.
故答案为：.
3. 无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为______.
【答案】
【解析】当，即时，无论为何值，恒有，此时，
所以定点坐标为.
故答案为：.
4. 若，则______（用含的式子表示）.
【答案】
【解析】由，得，即，
所以.
故答案为：.
5. 若向量、满足，，则______.
【答案】
【解析】由，，得，
所以.
故答案为：.
6. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】不等式等价于，解得，
所以；
解可得，，所以，
因为，所以，解得.
故答案为：.
7. 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______.
【答案】
【解析】由，，则直线的方程为，设其倾斜角为，
即，由，则，即，解得.
故答案为：.
8. 已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为______.
【答案】
【解析】由，
得，依题意，，即，
解得，而，
即，整理得，
解得或，而，所以实数的值为.
故答案为：.
9. 函数的部分图象如图所示，则______．
【答案】
【解析】由已知可得，，所以，所以，
所以，
又因为在处取得最大值，
所以有，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）.
【答案】5.8
【解析】在中，有，，，
由余弦定理可得，，
即，
整理可得，
解得或（舍去），
在中，有，，，
所以，，
由正弦定理可得，
(km).
故答案为：.
11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______.
【答案】
【解析】由，则，即，
，由，则如图：
点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为，
易知，，在四边形中对角线，
则四边形的面积，
在中，，解得，
扇形的面积，故.
故答案为：.
12. 已知函数，有以下命题：
①函数的最小正周期为；
②函数在上为增函数；
③直线是函数图象的一条对称轴；
④函数在上有三个零点；
⑤函数的最小值为.
请写出正确命题的全部序号______.
【答案】①③⑤
【解析】①：，
当时，，则，
根据函数在上单调递增，可得此时单调递减；
当时，，则，
根据函数在上单调递增，可得此时单调递增；故①正确；
②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确；
③：，
，
由，则直线是函数的对称轴，故③正确；
④：当时，，
则，根据函数在上单调递增，
可得此时单调递增，
由，
则函数存在唯一零点；
当时，，
则，根据函数在上单调递减，
可得此时单调递减，
由，
则函数存在唯一零点；
易知，，，
综上：函数在上有两个零点，故④不正确；
⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数的最小值为，
因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确.
故答案为：①③⑤.
二、选择题（本大题共4题，满分20分.）
13. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D.
14. 欧拉公式（其中是自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意，，
，
，
故，则其在复平面对应的点坐标为，
即该点在第四象限.
故选：D.
15. 在平行四边形中，，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得
，
所以，，所以.
故选：D.
16. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，设，，，
，即，
即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，解得，，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，
，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）
17. 已知向量，.
（1）求；
（2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？
解：（1）向量，，则，
而，所以.
（2）依题意，，而，，
因此，解得，
所以，向量与同向.
18. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）
解：（1）因为（，）的增长速度越来越快，
（）和（）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型（，），
由题意得，解得，
所以该函数模型为（）.
（2）由题意得，即，所以，
又，
所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.
19. 已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和.
（1）求点的坐标；
（2）设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数.
解：（1）依题意，，，则，
所以点的坐标是.
（2）依题意，，设，由，得，
，而为纯虚数，则，
由，得，解得，
所以.
20. 已知向量，，令函数.
（1）求函数表达式及其单调增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.
解：（1）
，
由，，解得，，
即的单调递增区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
，
满足，是偶函数，则，，
，当时，最小，此时，
此时，
由，则，
即，则只有，时方程有解，
即，，，，
解得，，，，
故，，
当时，最小，最小值为.
21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
（1）计算的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
解：（1）由已知可得，，，
所以，，
所以，.
（2）.
证明如下：左边，
右边
，
所以，左边=右边，
所以，.
（3）原题可转化为方程有解，即有解，
令，，，
因为在上单调递增，，，
所以，，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即有最大值，
又当，
则要使有解，应有，
即，所以.