数学：辽宁省营口市2024年中考适应性测试（二模）试题（解析版）

这是一份数学：辽宁省营口市2024年中考适应性测试（二模）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】通过求4个排球的绝对值得：
，，，
的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的球．故选：D．
3. 下列图形是圆柱侧面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：D．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
∵一元二次方程有实数根，
∴，，∴．
故选：D．
5. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况，
则抽取的两张牌花色相同的概率为．
故选：B．
6. 下列运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，故该选项错误，符合题意；
B、，正确，故该选项不符合题意；
C、， 正确，故该选项不符合题意；
D、，正确，故该选项不符合题意；
故选：A．
7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象与x轴的交点为
B. 当时，
C. 点，在该函数图象上，若，则
D. 函数图象经过第二、三、四象限
【答案】C
【解析】A．当时，，函数图象与轴的交点为，选项A不符合题意；
B．当时，，，选项B不符合题意；
C．∵，∴y随x的增大而减小，
∵点，该函数图象上，若，
∴，选项C符合题意；
D．一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意．
故选：C．
8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文
B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【解析】设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
9. 在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；
②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点；
④连接并延长，交于点N，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由作图可知：，
∴，
∴，
，
，
，
故选：A．
10. 如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】由函数图象的拐点可得，，
∴，
∴，
如图，当时，时，点D在上，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴
∴，即，
如图，当时，时，D点在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，即，
∴，
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
12. 不等式组的解集是_________．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组得解集为：-1＜x＜2，
故答案为：-1＜x＜2
13. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】∵正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
14. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为 ________．
【答案】米
【解析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
设内侧抛物线的解析式为，
将代入，得：，解得：，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
故答案为：米．
15. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是__________．
【答案】
【解析】直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴，
设且，即，
过点O作交于点C，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）原式；
（2）原式．
17. “母亲节”来临之际，某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，若购买4束百合和3束康乃馨需要花费230元．若购买6束百合和2束康乃馨需要花费270元．
（1）求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？
（2）花店打算购进30束百合和20束康乃馨两种鲜花进行销售，若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获得的利润不低于500元？
解：（1）设每束百合的进价为x元，则每束康乃馨的进价为y元，
由题意得，，解得，
∴每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元；
（2）设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，由题意得，
，
解得：，
∴每束百合的售价应至少定为47元才能使获得利润不低于500元．
18. 市体育局对甲、乙两运动队某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求m的值和扇形圆心角的度数；
（2）补全乙队成绩条形统计图；
（3）请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
解：（1）两队人数为：
，
的值为2，的度数为．
（2）乙队7分人数为：，补全条形图如图：

（3）①甲的中位数为：（分）；乙的中位数为：（分）；
②甲队成绩的平均数为：（分）；
乙队成绩的平均数为：（分）；
甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队的中位数大
乙运动队的成绩较好．
19. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分．
（1）当时，请求出y关于x的函数解析式；
（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．
解：（1）由题意可知：，
点的坐标为，
设反比例函数解析式为，
将代入，得：，解得，
反比例函数解析式，
将代入，得，
点D的坐标为，点A的坐标为，
设时，求与的函数关系式为，
由图可得点B的坐标为，
将，代入，得，解得，
与的函数关系式为；
（2）当时，解得，
，解得．．
经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32．
20. 半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，其中，（为水平地面）图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，为2.5米，为2米，车板离地的距离为1米．该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为（即）时可全部卸完货物，求此时车身最高点D离地面的距离．（参考数据：，，，结果保留一位小数．）
解：过点作于点，交于点，交BC于点，则，
四边形为矩形，
，，，
，
．
四边形为矩形，
，
，，
．
在中，，
，，
，
在中，，
，
（m），
答：此时车身最高点D离地面的距离约为．
21. 如图，是的直径，弦于点E，点F为上一点，且，连接，交于点P，连接．
（1）求证：：
（2）延长交延长线于点G，若，，求的长．
解：（1）为直径，，
，
，
，
，
，
．
（2）连接BC，
为直径，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，为直径，
，，
，
，
，
，
解得：或（不合题意，舍去）；
，
，
，，
，
，
，
，
．
的长为5．
22. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
解：（1）如图2中，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
（2）结论：．
理由：如图1中，延长到，使得，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，．
（3）解：存在．
理由：作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点M，连接，如图所示：
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴是的“旋补三角形”，
∵是等腰直角三角形，点M为中点，，
∴，
∴．
23. 新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为．
（1）求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标；
（3）当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
解：（1）根据“伴随抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
（2）设点，因为，，
，，，
，
，
或，
当时，判别式，
方程无解；
当时，解得，，或；
（3），
对称轴为，当时，．
当时，；
当时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
I．当，即时，
若，即，
则；，
，
解得或（舍）或（舍）；
若，即时，
；，
，
解得或（舍）或（舍）；
II．当，即时，
；．
，
解得（舍）或（舍）；
III．当，即时，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．A
B
B
A
（B，A）
（B，A）
B
（A，B）
（B，B）
B
（A，B）
（B，B）
信息一：
信息二：
甲队成绩统计表