数学：贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期中质量监测试题（解析版）

这是一份数学：贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期中质量监测试题（解析版），共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卷交回， 已知，，，则， 同时满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A. 5，7B. 6，7C. 8，5D. 8，7
【答案】D
【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故选：D．
2. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，
则.
故选：A
3. 设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】根据题意，椭圆中，
根据椭圆定义，的周长为
.
故选：C
4. 设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】D
【解析】D.由，公差，得，从而，
所以，解得k=5
5. 已知，，，则（ ）
A. 6B. 7C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知：，
则，
所以.
故选：B.
6. 已知函数是最小正周期为的奇函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知：，且，
又因为，可得，
所以，
若，即，
所以.故选：B.
7. 现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设事件“选中第一袋”，事件“选中第二袋”，事件“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各一份”，
则，且，，，
所以.故选：C.
8. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得
当时，方程为，图形为单位圆在第一象限的部分（含端点）；
当时，方程为，图形为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为，图形为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为，没有意义，不表示任何图形.
作出的图形，如图，
设点为曲线上的一个动点，
则A到直线的距离为，
由图可知，当A在圆心O到直线的垂线段上时，
即时，，达到最小值；
又双曲线、的一条渐近线方程为，
所以小于直线与的距离，而这两直线的距离为，
故，解得，
即的取值范围为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的虚部是
C. D. 对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：因为，
所以的虚部是，故B正确；
对于选项C：设，则，
所以，故C正确；
对于选项D：对应的点的坐标为，位于第一象限，故D正确；
故选：BCD.
10. 同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，是偶函数，且最大值为，满足条件，故A正确；
对于B，最大值为，不满足条件②，故B错误；
对于C，无最大值，故C错误；
对于D，偶函数，且最大值为，满足条件，故D正确.
故选：AD
11. 已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（ ）
A. B. 0是的极值点
C. 在上单调递增D. 的最小值为0
【答案】ABC
【解析】由，
则，
令，易得，是单调递增函数且是奇函数，
由上可得，
，则，故A正确；
，
由恒成立，所以时，，则单调递减，
时，，则单调递增，
且0是的极值小点，，
所以最小值为，故BC正确，D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，.则__________.
【答案】
【解析】根据题意，，
所以.
故答案为：
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有__________斛.
【答案】10
【解析】设圆锥底面半径为尺，则，解得，
所以圆锥的体积为立方尺，
所以堆放的米约有斛.
故答案为：10
14. 已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设函数，，
由在上仅有两个零点，即在上仅有两个根，
即与的图象在上仅有两个交点，
先研究与的图象相切的情况，如图，设公切点，
即点同时在函数，图象上，在点处的切线斜率相等，
就有，，
则，有，
函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点，
根据图象，可知实数的取值范围介于当或者1时，
即.故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
解：（1）可能取的值为0，1，2..
所以，的分布列为
（2）由（1），的数学期望为;
（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
.
16. 如图，长方体中，，点M是棱的中点，点E在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值
解：（1）由已知中点为，连接交于点，连接，
因为，,
得点E是CM的中点，O是AC的中点，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，即，
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
17. 已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
解：（1）当时，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
；
（2），，
，
令，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
，即取值范围是.
18. 在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切.
（1）求m的值；
（2）已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
解：（1）因为直线与抛物线C：相切，
所以方程组有唯一解，所以有唯一解，
所以，且，解得．
（2）设直线的方程为，，
因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，
联立方程，消去x得，
则，可得，
因为，即，
整理得，
即，解得，
可知直线的方程为，可知，，符合题意，
则四边形的面积为
．
令，
所以，
因为在上恒成立，
可知在上单调递增，
当且仅当，即时，，
所以四边形面积的最小值为，此时直线的方程为.
19. 若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
解：（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为.
（2）设，其中，且，
因为，则，，，，
则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，
在数列中，；
在数列中，；
因为，可知，
即项数m越大，数列和的距离越大，
由得：，
可知：若时，；
又因为，
可知：若时，；
综上所述：所以m的最大值为3469.
（3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，
则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：
，
那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，
设这个数列分别为；
；
，
其中，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立，
不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1，
又因或1，于是得和中必有一个成立，
同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，
从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立，
所以T中的元素个数小于或等于16.
0
1
2
P