数学：甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版）

这是一份数学：甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版），共12页。试卷主要包含了回答选择题时，考试结束后，本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．
1. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为所以所以．
故选：D.
2. 双曲线的离心率为（ ）
A B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】双曲线中，，
所以双曲线离心率故选：C
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】与所成角的余弦值为，
又与所成角为，
与所成角的大小为
故选：B
4. 甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（ ）
A. 480种B. 360种C. 240种D. 600种
【答案】A
【解析】先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有种．
故选：A
5. 若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，
即圆的圆心的轨迹方程为.
故选：C
6. 在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为．若则在处的瞬时变化率为（ ）
A. 18B. 20C. 24D. 26
【答案】A
【解析】因为四边形的周长为12，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
由得，，
解得，
，则，
所以在在处的瞬时变化率为18，
故选：A．
7. 设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A. 64B. 72C. 76D. 80
【答案】D
【解析】设是该等比数列的前项和，依题意可知
则成等比数列，即成等比数列，
则解得
故选：D.
8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令
则,
因为当时，
所以在上单调递增,
又为奇函数，且图象连续不断，
所以为偶函数,
由得
解得或
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
故选：AD
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A：令，得，故A错误；
对B：令，得则，故B正确．
对C：由题可得，则，故C正确．
对D：令，得则，故D正确．
故选：BCD.
11. 设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（ ）
A. 函数为上的凹函数
B. 函数为上的凸函数
C. 函数为上的凸函数
D. 函数为上的凹函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为为上的增函数，
所以为上的凹函数，故A正确；
对于选项B：因为，设，
则，
当时，，可知为上的减函数，
即为上的减函数，所以为上的凸函数，故B正确；
对于选项C：因为，设，
则，注意到，
可知在内不是单调递减函数，即在内不是单调递减函数，
所以函数在上不为凸函数，故C错误；
对于选项D：因为，令，
则，
设，则，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即在上恒成立，
可知为上的单调递增，所以为上的凹函数，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某城市今年空气质量为“优”的天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．
【答案】
【解析】设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为
则解得：
故答案为：.
13. 若函数存在极值，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】，则，
解得．
故答案为：.
14. 已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为______．
【答案】7
【解析】曲线可变形为
令，解得，
可知曲线恒过点，
因为在抛物线上，
则，
解得，
所以的方程为，可知的焦点为，准线为，
又因为，可知点在抛物线内，
设点在准线上的投影为，
则，
因为，
当且仅当与的准线垂直时，等号成立，
所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7．
故答案为：7.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设等差数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）设的公差为则，解得，
所以．
（2）由（1）知，
则
．
16. 如图，在三棱锥中，平面平．
（1）证明：．
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）取的中点，连接，
因为，所以，
又，面，
所以平面，
因平面，所以；
（2）因为平面平面，平面平面，，
平面，
所以平面，又，
所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令得．
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知3是函数的极小值点．
（1）求的值；
（2）若，且有3个零点，求的取值范围．
解：（1）因为
所以
令得或
当则当时，当时，
故在和上单调递增，在上单调递减．
因为3是的极小值点，所以
即符合题意．
当则恒成立，在上单调递增，无极值点，不符合题意．
当则当时，当时，
故在和上单调递增，在上单调递减．
因为3是的极小值点，所以即符合题意．综上所述，或
（2）因为所以
当时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
显然当时，，当时，，
因为有3个零点，所以当且仅当，
解得故的取值范围为.
18. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．
（1）求；
（2）求；
（3）若点在棱BC上，且平面，求的长．
解：（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以；
（2）设，则
设平面的法向量为，
则，令得，
依题意可得，
解得，所以；
（3）设，则，
由（2）知，则，
因为，
所以，
所以是平面的一个法向量．因为平面，
所以，解得，所以的长为.
19. 已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为所以则
又
所以曲线在点处的切线方程为
即
（2）因为所以则
令则
当时，单调递增，故
当时，单调递增，
当时，单调递减，故．
从而在上恒成立，
则上单调递增.
（3）在上恒成立等价于
在上恒成立．
若则，则显然恒成立．
若则在上恒成立，
令由（1）可知在上恒成立，
故由得则即．
令则
当时，单调递减，当时，单调递增，
则则．
综上所述，的取值范围为