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数学：广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期期中联考试题（解析版）
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这是一份数学：广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期期中联考试题（解析版），共12页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】，
所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 2B. 3C. 2或4D. 3或4
【答案】C
【解析】因为，
所以或，
故选：C
3. 随机变量的分布列如表：则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由分布列性质知：，解得：.故选：A.
4. 的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
【答案】C
【解析】由二项式定理：，令，得，
所以项的系数为；
故选：C.
5. 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】函数，求导得，
当时，，
所以.
故选：A
6. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）
A.34种B. 48种
C.96种D.144种
【答案】C
【解析】,故选C.
7. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( )
A. 0.63B. 0.24C. 0.87D. 0.21
【答案】C
【解析】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．
故选：C．
8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于，
故原方程等价于或.
由于当时，，故在上单调递减.
而当时，有，故此时，
从而当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
从而当时，有，而在上单调递减，，
所以有唯一解.
若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或，
而只有一个解，所以方程至少有三个解.
假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以
假设，则当，时有，
从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解，
所以至多有两个解，矛盾，所以.
综上，有，即；
另一方面，当即时，设，
由于，，，
且.
故在，，上各有一个解，从而至少有三个解.
而，（因为），
所以或有四个解.
综上，的取值范围是，即，D正确.
故选：D.
二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则，故C错误；
对于D：，故D正确．
故选：ABD．
10. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
【答案】ABC
【解析】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；
B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；
D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.
故选：ABC
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对两个不相等的正实数，，若，则.
【答案】BD
【解析】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；
B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；
C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；
D.令，则，，
令，
则，
∴在上单调递减，则，令，由，
得，则，当时，显然成立，
∴对任意两个正实数，，且，若，则，
所以.故D正确.
故选：BD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 的展开式中的系数是__________.
【答案】
【解析】展开式的通项为，，
①令，则；
②令，则；
综上可得：展开式中项的系数为．
故答案为：．
13. 如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
【答案】13
【解析】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.
若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.
故答案为：13.
14. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________
【答案】
【解析】f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，
令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
减区间为(－1,1)．
所以要使函数f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，
即⇒－2≤a＜1.
四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算；
（2）已知，求的值．
解：（1）；
（2）令，得，
令，得，
所以．
16. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.
解：（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，
依题意得：，，，
的分布列为：
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
17. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
解：（1）因为，
该函数的定义域为，，
因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，
则，解得.
（2）由（1）可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
18. 甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．
（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为，（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，，求，的解析式．
（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；
②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．
解：（1）甲快递公司的“快递小哥”的日工资中与送货单数的函数关系式为，．
乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式为．
（2）①由条形图得x的取值范围为，
，，
，，
所以的分布列为
故的数学期望为．
②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为，
所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为（元），
由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．
故推荐小赵去甲快递公司应聘．
19. 设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的取值范围；
（3）已知不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数，
则．
当时，即，这等价于，解得；
当时，即且，这等价于且，
解得或；
所以函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是．
（2）当时，，
由（1）可知在上递增，在上递减，如图所示：
一方面，在区间上，根据在上递增，
在上递减，可知；
而区间上，显然.
故.
另一方面，设.
对，有，
所以存在使得，即.
而对，
有，
所以存在使得，即.
综上，函数的取值范围为．
（3）因为，所以，从而
在不等式两边同时取自然对数可得：对恒成立，
即大于在时的最大值.
由（2）可知，此时在处取得取得最大值，
所以的取值范围是．
0
1
2
减
极小值
增
100
106
118
130
0.2
0.3
0.4
0.1
考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】，
所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 2B. 3C. 2或4D. 3或4
【答案】C
【解析】因为，
所以或，
故选：C
3. 随机变量的分布列如表：则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由分布列性质知：，解得：.故选：A.
4. 的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
【答案】C
【解析】由二项式定理：，令，得，
所以项的系数为；
故选：C.
5. 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】函数，求导得，
当时，，
所以.
故选：A
6. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）
A.34种B. 48种
C.96种D.144种
【答案】C
【解析】,故选C.
7. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( )
A. 0.63B. 0.24C. 0.87D. 0.21
【答案】C
【解析】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．
故选：C．
8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于，
故原方程等价于或.
由于当时，，故在上单调递减.
而当时，有，故此时，
从而当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
从而当时，有，而在上单调递减，，
所以有唯一解.
若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或，
而只有一个解，所以方程至少有三个解.
假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以
假设，则当，时有，
从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解，
所以至多有两个解，矛盾，所以.
综上，有，即；
另一方面，当即时，设，
由于，，，
且.
故在，，上各有一个解，从而至少有三个解.
而，（因为），
所以或有四个解.
综上，的取值范围是，即，D正确.
故选：D.
二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则，故C错误；
对于D：，故D正确．
故选：ABD．
10. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
【答案】ABC
【解析】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；
B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；
D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.
故选：ABC
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对两个不相等的正实数，，若，则.
【答案】BD
【解析】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；
B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；
C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；
D.令，则，，
令，
则，
∴在上单调递减，则，令，由，
得，则，当时，显然成立，
∴对任意两个正实数，，且，若，则，
所以.故D正确.
故选：BD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 的展开式中的系数是__________.
【答案】
【解析】展开式的通项为，，
①令，则；
②令，则；
综上可得：展开式中项的系数为．
故答案为：．
13. 如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
【答案】13
【解析】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.
若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.
故答案为：13.
14. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________
【答案】
【解析】f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，
令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
减区间为(－1,1)．
所以要使函数f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，
即⇒－2≤a＜1.
四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算；
（2）已知，求的值．
解：（1）；
（2）令，得，
令，得，
所以．
16. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.
解：（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，
依题意得：，，，
的分布列为：
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
17. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
解：（1）因为，
该函数的定义域为，，
因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，
则，解得.
（2）由（1）可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
18. 甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．
（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为，（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，，求，的解析式．
（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；
②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．
解：（1）甲快递公司的“快递小哥”的日工资中与送货单数的函数关系式为，．
乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式为．
（2）①由条形图得x的取值范围为，
，，
，，
所以的分布列为
故的数学期望为．
②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为，
所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为（元），
由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．
故推荐小赵去甲快递公司应聘．
19. 设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的取值范围；
（3）已知不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数，
则．
当时，即，这等价于，解得；
当时，即且，这等价于且，
解得或；
所以函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是．
（2）当时，，
由（1）可知在上递增，在上递减，如图所示：
一方面，在区间上，根据在上递增，
在上递减，可知；
而区间上，显然.
故.
另一方面，设.
对，有，
所以存在使得，即.
而对，
有，
所以存在使得，即.
综上，函数的取值范围为．
（3）因为，所以，从而
在不等式两边同时取自然对数可得：对恒成立，
即大于在时的最大值.
由（2）可知，此时在处取得取得最大值，
所以的取值范围是．
0
1
2
减
极小值
增
100
106
118
130
0.2
0.3
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