数学：新疆维吾尔自治区2022-2023学年高一下学期期末考试试题（解析版）

这是一份数学：新疆维吾尔自治区2022-2023学年高一下学期期末考试试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知是虚数单位，复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2. 已知向量，且，则x＝（ ）
A. 8B. 2C. 4D.
【答案】A
【解析】由题意得：，解得：.
故选：A.
3. 已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，且，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】对于A，若，，则或相交或为异面直线，因此A不正确；
对于B，若，，，，则与相交或平行，因此B不正确；
对于C，若，且，则与必垂直，因此C正确；
对于D，若，，，则与位置关系不确定，因此D不正确．
故选：C．
4. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该圆锥的底面半径为r，则，所以该圆锥的底面半径，
设圆锥的母线长为，则，即，
则圆锥的高为，因此该圆锥的体积.
故选：B.
5. 某高中共有学生1800人，其中高一、高二、高三的学生人数比为16：15：14，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高二年级应该抽取的人数为（ ）
A. 28B. 30C. 32D. 36
【答案】B
【解析】高二年级应该抽取人.
故选：B.
6. 某校高一学生进行测试，随机抽取名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由茎叶图知：数据为、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、，
因此，这组数据的众数为，中位数为.
故选：D.
7. 已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）
A. NB. 5 NC. ND. 10 N
【答案】A
【解析】因为两个力，的夹角为，所以，
又因为它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为，
所以，解得.
故选：A.
8. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错误选项的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样从含有50个个体总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
【答案】AD
【解析】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，
这组数据的方差是，
故B错误；
对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；
对于D，依题意，，则，
所以数据的标准差为16，D正确.
故选：AD.
10. 已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，则外接圆半径为10
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，，则
【答案】ACD
【解析】因为，所以，由正弦定理，
可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，所以，D正确.
故选：ACD.
11. 已知复数在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（ ）
A. 在第一象限B. 与关于对称
C. 为钝角D.
【答案】ABD
【解析】依题意可得，
对于A，在第一象限，故A正确；
对于B，与关于对称，故B正确；
对于C，因为，，
所以不是钝角，故C错误；
对于D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12. 在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A. 与异面B. 与所成的角为
C. 与异面D. 与所成的角为
【答案】AD
【解析】如图，在正方体中，分别为的中点，
对于A，与异面，故A正确；
对于B，与所成的角为，又，所以与所成的角为，
故B错误；
对于C，由，得与共面，故C错误；
对于D，与所成的角为，又，所以与所成的角为，
故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置．）
13. 平面向量与的夹角为，，，则__________．
【答案】
【解析】，
因为，，与的夹角为，
所以，所以.
故答案为：.
14. 已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于__________．
【答案】
【解析】依题意，弧长为，所以圆锥的底面半径为，
所以扇形围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于.
故答案为：
15. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
【答案】
【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，
共4组随机数，所以恰好抽取三次就停止的概率约为.
故答案为：.
16. 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为___________.
【答案】
【解析】正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，
点都在同一球面上，
该球的球心恰好为底面的中心，球的半径，
此球的体积为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余各小题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知复数.
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围.
解：（1）因为纯虚数的实部为零，虚部不为零可得：.
（2）易知z在复平面内的对应点为，则.
18. 新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．
（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．
解：（1），解得，
设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，
在的频率为，
所以中位数满足等式，解得，
故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.
（2）成绩在的频数为，
成绩在的频数为，
按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，
在的学生被抽取人，
从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，
故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.
19. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥外接球的表面积．
解：（1）连接交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，因此，平面.
（2）将三棱锥补成长方体，如下图所示：
则长方体的体对角线长为，
所以，三棱锥外接球半径为，
因此，三棱锥外接球表面积为.
20. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的.
（1）求比赛恰进行两局就结束的概率；
（2）求这场比赛甲获胜概率.
解：（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能，
事件：甲胜乙，事件：乙胜甲.，，
.
（2）这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；
事件：比赛三局结束且甲获胜，
，，
∴.
21. 在①；②两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.
在中，角的对边分别为，___________.
（1）若，求A；
（2）已知，求的面积.
解：（1）选①，
因为，所以，
由正弦定理可得，即，
由于在中 ，从而或，
因为，故舍去，所以.
选②，
因为，所以，即，
由正弦定理可得，即，
由于在中 ， ，
从而，因，所以.
（2）若选①，由以上解答可知，或，
因为，故不合题意，所以，则，
由余弦定理 ，可得，解得，
因为，所以，
从而的面积为.
若选②，由（1）解答可知，，则，
由余弦定理 ，可得，解得，
因为，所以，
从而的面积为.
22. 如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且.
（1）证明平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.
解：（1）因为平面，平面，故可得；
设底面正方形的边长为4，故可得，
，，
故在中，满足，故可得；
又平面，且，
则平面，即证.
（2）因为平面，平面，故可得，
又底面为正方形，故可得，
故以坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示：
设，故可得，
设平面的法向量为，则，则，
取，则，
不妨取平面的法向量，则，
设平面与平面所成二面角的平面为，则，
即平面与平面所成二面角的正弦值为.